Dadas as afirmações abaixo:
Duas arestas quaisquer, não paralelas, de um hexaedro regular e uma diagonal de qualquer face representam vetores que constituem base no R^3.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma afirmação sobre vetores em um hexaedro regular, que basicamente é um cubo. A questão fala que duas arestas quaisquer que não sejam paralelas e uma diagonal de qualquer face podem formar uma base no espaço tridimensional, ou seja, em R^3. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma base, vetores linearmente independentes e como esses vetores se relacionam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base em R^3. Uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que conseguem “gerar” todo o espaço tridimensional. Ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação desses três vetores.

Passo 3

Agora, vamos analisar os vetores mencionados na afirmação:
  1. Duas arestas não paralelas: No cubo, podemos pensar em duas arestas que estão em direções diferentes, por exemplo, uma ao longo do eixo x e outra ao longo do eixo y. Esses dois vetores são claramente linearmente independentes porque não estão na mesma direção.
  2. Uma diagonal de face: Vamos considerar a diagonal de uma face que está no plano xy, por exemplo, o vetor que vai de uma ponta a outra do quadrado, ou seja, o vetor v = x + y.

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses três vetores são linearmente independentes. Se conseguirmos escrever um deles como combinação linear dos outros, então eles não são independentes e não formam uma base.
Observando os vetores:
  • v1 = x
  • v2 = y
  • v3 = x + y
Vemos que v3 pode ser escrito como v1 + v2. Isso significa que v3 é uma combinação linear de v1 e v2, ou seja, os três vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Portanto, a afirmação é falsa. As duas arestas não paralelas e uma diagonal de face em um hexaedro regular não formam uma base em R^3 porque os vetores são linearmente dependentes.

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