De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de :
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente verificar se o conjunto de vetores forma uma base do espaço tridimensional . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre bases e dependência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores satisfaz os requisitos para ser uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para que um conjunto de vetores seja uma base de , ele precisa satisfazer duas condições:
Linearmente Independentes: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Span (ou Espaço Gerado): Os vetores devem “preencher” todo o espaço , ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.
No caso de três vetores em , se eles forem linearmente independentes, automaticamente eles vão gerar todo o espaço, formando assim uma base.
Agora, vamos analisar o conjunto dado: .
Primeiro, note que o vetor é o vetor nulo, que por definição não pode ser parte de um conjunto de vetores linearmente independentes, já que ele pode ser escrito como qualquer combinação linear dos vetores (multiplicado por zero). Isso já indica um problema.
Para confirmar, vamos verificar a independência linear. Suponha que exista a combinação:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo esse sistema:
Da terceira equação:
Com , da primeira equação:
E pode ser qualquer valor, já que ele não aparece nas equações.
Isso mostra que existe uma solução não trivial (onde pode ser diferente de zero), o que significa que os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
Como o conjunto de vetores contém o vetor nulo e é linearmente dependente, ele não forma uma base de .