(a) Sabendo que
podemos afirmar que
é L.I. ou L.D.? Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, o exercício nos dá uma combinação de vetores:
. A gente vai precisar entender o que significa os vetores serem Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e ver se essa equação mostra alguma relação especial entre os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, é quando você multiplica cada vetor por um escalar (um número) e soma todos eles. Se essa soma der o vetor zero, temos uma relação que pode indicar dependência ou independência dos vetores.
Passo 3
Na equação dada,
, vemos que temos uma combinação linear dos vetores
,
e
que resulta no vetor zero. Os coeficientes aqui são 2, -1 e -5, e nenhum deles é zero.
Passo 4
Agora, para determinar se os vetores são L.I. ou L.D., lembramos que:
- Linearmente Independentes (L.I.): Só dá para obter o vetor zero se todos os coeficientes forem zero.
- Linearmente Dependentes (L.D.): Dá para obter o vetor zero com pelo menos um coeficiente diferente de zero.
Passo 5
Como na nossa combinação
temos coeficientes que não são todos zero, isso significa que existe uma relação não trivial entre os vetores.
Resposta
Portanto, os vetores
são Linearmente Dependentes (L.D.).
Exercícios relacionados
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de
:
(b) Sabendo que projeção ortogonal de
sobre
é um vetor da forma
, use os dados do item anterior e o produto escalar para determinar o valor de
.
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de
:
(b) Mostre que o vetor
é ortogonal ao vetor
.