b) Mostre que para todo suficientemente grande.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado nos pede. Precisamos mostrar que, para todo suficientemente grande, a função é menor que . Isso envolve comparar o comportamento de uma função exponencial com uma função polinomial quando cresce bastante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e crescimento de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar como se comporta quando fica muito grande. A função é uma exponencial negativa, ou seja, conforme aumenta, diminui rapidamente em direção a zero. Quanto maior o expoente , mais rápido essa função tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Essa é uma função polinomial que também tende a zero quando aumenta, mas o faz de forma mais lenta comparada à função exponencial. Em geral, funções polinomiais decaem mais devagar do que funções exponenciais negativas à medida que cresce.

Passo 4

Para comparar as duas funções, consideramos o limite da razão entre elas quando tende ao infinito:
Como decresce mais rapidamente que cresce, esse limite tende a zero:
Isso significa que, para suficientemente grande, será menor que .

Resposta

Portanto, mostramos que para todo suficientemente grande.

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