b) Mostre que
para todo
suficientemente grande.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado nos pede. Precisamos mostrar que, para todo
suficientemente grande, a função
é menor que
. Isso envolve comparar o comportamento de uma função exponencial com uma função polinomial quando
cresce bastante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e crescimento de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar como
se comporta quando
fica muito grande. A função
é uma exponencial negativa, ou seja, conforme
aumenta,
diminui rapidamente em direção a zero. Quanto maior o expoente
, mais rápido essa função tende a zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Essa é uma função polinomial que também tende a zero quando
aumenta, mas o faz de forma mais lenta comparada à função exponencial. Em geral, funções polinomiais decaem mais devagar do que funções exponenciais negativas à medida que
cresce.
Passo 4
Para comparar as duas funções, consideramos o limite da razão entre elas quando
tende ao infinito:
Como
decresce mais rapidamente que
cresce, esse limite tende a zero:
Isso significa que, para
suficientemente grande,
será menor que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
para todo
suficientemente grande.
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em que
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