Estude a convergência de cada integral imprópria.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar a convergência da integral imprópria
. Isso significa que precisamos verificar se essa integral tem um valor finito ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente sobre integrais impróprias e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função
, vemos que o denominador pode se tornar zero quando
. Isso faz com que a função tenda ao infinito nesse ponto, tornando a integral imprópria no limite inferior
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de
. Podemos simplificar o denominador para facilitar:
. Para
muito perto de 0,
é muito pequeno comparado a 1, então
. Assim, a função se aproxima de
perto de 0.
Passo 4
Sabemos que
tem uma antiderivada que tende ao infinito quando
se aproxima de 0. Mais formalmente,
diverge. Como nossa função original
se comporta de maneira similar a
perto de 0 e
para
, podemos usar o Teste da Comparação. Se a função maior
já diverge, então a nossa integral também diverge.
Resposta
A integral
diverge.