Estude a convergência de cada integral imprópria.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar a convergência da integral imprópria . Isso significa que precisamos verificar se essa integral tem um valor finito ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente sobre integrais impróprias e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função , vemos que o denominador pode se tornar zero quando . Isso faz com que a função tenda ao infinito nesse ponto, tornando a integral imprópria no limite inferior .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de . Podemos simplificar o denominador para facilitar: . Para muito perto de 0, é muito pequeno comparado a 1, então . Assim, a função se aproxima de perto de 0.

Passo 4

Sabemos que tem uma antiderivada que tende ao infinito quando se aproxima de 0. Mais formalmente, diverge. Como nossa função original se comporta de maneira similar a perto de 0 e para , podemos usar o Teste da Comparação. Se a função maior já diverge, então a nossa integral também diverge.

Resposta

A integral diverge.

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b) Mostre que para todo suficientemente grande.
a) Prove que converge usando comparação com
É convergente ou divergente? Justifique
Então:
a) Mostre que para todo suficientemente grande.