Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar a convergência da integral imprópria . Isso significa que precisamos verificar se essa integral tem um valor finito ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente sobre integrais impróprias e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função , vemos que o denominador pode se tornar zero quando . Isso faz com que a função tenda ao infinito nesse ponto, tornando a integral imprópria no limite inferior .
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de . Podemos simplificar o denominador para facilitar: . Para muito perto de 0, é muito pequeno comparado a 1, então . Assim, a função se aproxima de perto de 0.
Passo 4
Sabemos que tem uma antiderivada que tende ao infinito quando se aproxima de 0. Mais formalmente, diverge. Como nossa função original se comporta de maneira similar a perto de 0 e para , podemos usar o Teste da Comparação. Se a função maior já diverge, então a nossa integral também diverge.