a) Prove que
converge usando comparação com
Passo 1
Então, bora lá! A gente precisa mostrar que a integral
converge. Para isso, vamos comparar com a integral
. Aqui, estamos lidando com integrais impróprias e vamos usar o teste de comparação para verificar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções envolvidas. A função
é a famosa função gaussiana, que decai bem rápido quando
cresce. Já
também decai exponencialmente, mas de uma forma um pouco diferente. Precisamos ver como essas duas funções se comparam para grandes valores de
.
Passo 3
Vamos analisar os limites das funções quando
tende a mais ou menos infinito. Para
, quando
,
super rápido. Para
, também temos
quando
, mas de uma maneira menos rápida comparada à gaussiana.
Passo 4
Agora, observamos que para todo
,
. Isso porque
para
, e portanto,
nesse intervalo. Para
, ambas as funções são limitadas, então a desigualdade ainda vale.
Passo 5
Sabemos que
é uma integral que converge. De fato, ela é igual a
, já que
e multiplicamos por 2 para cobrir todo o eixo real.
Passo 6
Pelo teste de comparação, se
para todo
e
converge, então
também converge. Aqui,
e
, que já vimos que satisfazem essa condição.
Resposta
Portanto, a integral
converge.
Exercícios relacionados
Determine o valor de
para que
em que
Estude a convergência de cada integral imprópria.
b) Mostre que
para todo
suficientemente grande.
Estude a convergência de cada integral imprópria.