É convergente ou divergente? Justifique

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício perguntando se a integral de de 1 até o infinito é convergente ou divergente. Esse é um problema de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender sobre integrais de funções positivas e o teste de comparação para determinar a convergência.

Passo 2

Primeiro, observamos que é sempre positiva para porque o módulo torna qualquer valor negativo positivo. Isso é útil porque quando a função é positiva, podemos aplicar direto o teste de comparação para integrais.

Passo 3

Vamos comparar com uma função mais simples que sabemos se integra ou não. Sabemos que é sempre menor ou igual a 1. Então, temos:
para todo .

Passo 4

Agora, vamos analisar a integral de de 1 até o infinito:
Sabemos que essa integral é divergente porque ela resulta em infinito.

Passo 5

De acordo com o teste de comparação, se a função maior diverge, isso não nos dá informação direta sobre a convergência da nossa função original. Então, precisamos de uma abordagem diferente. Vamos usar o fato de que oscila entre positivo e negativo e comparar a integral sem o valor absoluto.

Passo 6

Considerando a integral de de 1 até o infinito, sabemos que essa é uma integral condicionalmente convergente devido às oscilações da função seno que cancelam áreas positivas e negativas. Porém, ao tirar o valor absoluto, perdemos esse cancelamento.

Passo 7

Portanto, a integral de não converge, já que as áreas positivas continuam somando sem cancelamento, e a integral de dá infinito.

Resposta

A integral é divergente.

Exercícios relacionados

Estude a convergência de cada integral imprópria.
b) Mostre que para todo suficientemente grande.
Então:
a) Mostre que para todo suficientemente grande.
Prove que
e . Conclua que