Se b neq 0, lim xn=a e lim xnyn=b então lim yn=ab.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três condições:
A matéria envolvida aqui é o estudo de limites de sequências, especialmente utilizando propriedades de limites para resolver expressões envolvendo quocientes. Vamos precisar aplicar as propriedades dos limites e fazer algumas manipulações algébricas para encontrar .

Passo 2

Sabemos que:
lim xnyn = b
E queremos encontrar xnyn = b . Para isso, podemos reescrever a expressão acima isolando xn = b cdot yn :
yn = xnb
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, isolamos :

Passo 3

Agora, vamos aplicar o limite em ambos os lados da equação:
lim yn = lim ( xnb )
Como lim yn = lim xnb é uma constante diferente de zero, podemos tirar o limite fora da fração:
lim yn = ab
Sabemos que , então substituímos:

Resposta

Portanto, .

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