Se
e
então
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três condições:
A matéria envolvida aqui é o estudo de limites de sequências, especialmente utilizando propriedades de limites para resolver expressões envolvendo quocientes. Vamos precisar aplicar as propriedades dos limites e fazer algumas manipulações algébricas para encontrar
.
Passo 2
Sabemos que:
E queremos encontrar
. Para isso, podemos reescrever a expressão acima isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o limite em ambos os lados da equação:
Como
é uma constante diferente de zero, podemos tirar o limite fora da fração:
Sabemos que
, então substituímos:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.
Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então
. (Mostre que, para algum
e alguma constante
para todo
suficientemente grande.)
Mostre que se
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se converge e
para todo
suficientemente grande então
.
Se
Conclua que existe
.