Se e então .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três condições:
A matéria envolvida aqui é o estudo de limites de sequências, especialmente utilizando propriedades de limites para resolver expressões envolvendo quocientes. Vamos precisar aplicar as propriedades dos limites e fazer algumas manipulações algébricas para encontrar .

Passo 2

Sabemos que:
E queremos encontrar . Para isso, podemos reescrever a expressão acima isolando :
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, isolamos :

Passo 3

Agora, vamos aplicar o limite em ambos os lados da equação:
Como é uma constante diferente de zero, podemos tirar o limite fora da fração:
Sabemos que , então substituímos:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.
Seja uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então . (Mostre que, para algum e alguma constante para todo suficientemente grande.)
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se converge e para todo suficientemente grande então .
Conclua que existe .