Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que toda subsequência de uma sequência limitada também é limitada. Estamos lidando com sequências e subsequências dentro da Matemática, mais especificamente em Análise. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e o que é uma subsequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real tal que para todo . Ou seja, os termos da sequência não “crescem” além de certo valor .

Passo 3

Agora, o que é uma subsequência? Uma subsequência de é obtida selecionando alguns termos da sequência original, mas mantendo a ordem. Por exemplo, se nossa sequência for , uma subsequência poderia ser .

Passo 4

Vamos ao que precisamos provar: Se é limitada, então qualquer subsequência também é limitada. Sabendo que é limitada, sabemos que existe um tal que para todo .

Passo 5

Como é uma subsequência de , cada termo de está também na sequência original . Portanto, para cada termo , temos , já que é limitada por .

Passo 6

Conclusão: Já que todos os termos da subsequência são menores ou iguais a em valor absoluto, a subsequência também é limitada, com a mesma constante .

Resposta

Portanto, toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.

Exercícios relacionados

Seja uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então . (Mostre que, para algum e alguma constante para todo suficientemente grande.)
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Se e então .
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se converge e para todo suficientemente grande então .