Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que toda subsequência de uma sequência limitada também é limitada. Estamos lidando com sequências e subsequências dentro da Matemática, mais especificamente em Análise. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e o que é uma subsequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência limitada. Uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que
para todo
. Ou seja, os termos da sequência não “crescem” além de certo valor
.
Passo 3
Agora, o que é uma subsequência? Uma subsequência
de
é obtida selecionando alguns termos da sequência original, mas mantendo a ordem. Por exemplo, se nossa sequência for
, uma subsequência poderia ser
.
Passo 4
Vamos ao que precisamos provar: Se
é limitada, então qualquer subsequência
também é limitada. Sabendo que
é limitada, sabemos que existe um
tal que
para todo
.
Passo 5
Como
é uma subsequência de
, cada termo de
está também na sequência original
. Portanto, para cada termo
, temos
, já que
é limitada por
.
Passo 6
Conclusão: Já que todos os termos da subsequência
são menores ou iguais a
em valor absoluto, a subsequência
também é limitada, com a mesma constante
.
Resposta
Portanto, toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.
Exercícios relacionados
Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então
. (Mostre que, para algum
e alguma constante
para todo
suficientemente grande.)
Mostre que se
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Se
e
então
.
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se converge e
para todo
suficientemente grande então
.
Se