Seja uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então . (Mostre que, para algum e alguma constante para todo suficientemente grande.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de números reais positivos, . A questão quer que mostremos que, se o limite de for menor que 1, então o limite de é 0. Para isso, precisamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciais. Vamos precisar entender o que significa o limite de uma sequência e como manipular potências e desigualdades para provar a afirmação.

Passo 2

Sabemos que . Vamos chamar esse limite de , então . Isso significa que, para bem grande, está próximo de , que é uma constante menor que 1.

Passo 3

Como , podemos escolher um número tal que . Por exemplo, se , podemos escolher . Isso é possível porque é menor que 1, então sempre existe um entre e 1.

Passo 4

Pelo conceito de limite, se , então existe uma posição a partir da qual para todo grande o suficiente. Ou seja, existe um número natural tal que, para todo , temos:

Passo 5

Elevando ambos os lados da desigualdade à potência , mantemos a desigualdade porque é positivo e menor que 1:
Agora, temos que é menor que para todo .

Passo 6

Queremos mostrar que . Sabemos que quando , pois quanto maior , menor será .

Passo 7

Como para suficientemente grande e , pelo teorema do confronto (ou sanduíche), concluímos que:

Resposta

Portanto, mostramos que se , então .

Exercícios relacionados

Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Seja uma funçã̃o positiva crescente definida para . Usando considerações geométricas, mostre que
Tome e deduza as desigualdades
Deduza que
e conclua que
Ou seja, . (Vale também a fórmula de Stirling: .)
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.
Se e então .