Seja (xn)n in N uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se lim xn^1 / n<1 então lim xn=0. (Mostre que, para algum 0 e alguma constante k>0, xn para todo n suficientemente grande.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de números reais positivos, . A questão quer que mostremos que, se o limite de for menor que 1, então o limite de é 0. Para isso, precisamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciais. Vamos precisar entender o que significa o limite de uma sequência e como manipular potências e desigualdades para provar a afirmação.

Passo 2

Sabemos que . Vamos chamar esse limite de , então . Isso significa que, para bem grande, está próximo de , que é uma constante menor que 1.

Passo 3

Como , podemos escolher um número tal que . Por exemplo, se , podemos escolher . Isso é possível porque é menor que 1, então sempre existe um entre e 1.

Passo 4

Pelo conceito de limite, se xn^1/n < b , então existe uma posição a partir da qual para todo grande o suficiente. Ou seja, existe um número natural tal que, para todo , temos:

Passo 5

Elevando ambos os lados da desigualdade à potência xn < b^n , mantemos a desigualdade porque é positivo e menor que 1:
Agora, temos que é menor que para todo .

Passo 6

Queremos mostrar que . Sabemos que quando , pois quanto maior , menor será .

Passo 7

Como limn to infty xn = 0 para suficientemente grande e , pelo teorema do confronto (ou sanduíche), concluímos que:

Resposta

Portanto, mostramos que se , então .

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