Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se
então
. (Mostre que, para algum
e alguma constante
para todo
suficientemente grande.)
Mostre que se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de números reais positivos,
. A questão quer que mostremos que, se o limite de
for menor que 1, então o limite de
é 0. Para isso, precisamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciais. Vamos precisar entender o que significa o limite de uma sequência e como manipular potências e desigualdades para provar a afirmação.
Passo 2
Sabemos que
. Vamos chamar esse limite de
, então
. Isso significa que, para
bem grande,
está próximo de
, que é uma constante menor que 1.
Passo 3
Como
, podemos escolher um número
tal que
. Por exemplo, se
, podemos escolher
. Isso é possível porque
é menor que 1, então sempre existe um
entre
e 1.
Passo 4
Pelo conceito de limite, se
, então existe uma posição a partir da qual
para todo
grande o suficiente. Ou seja, existe um número natural
tal que, para todo
, temos:
Passo 5
Elevando ambos os lados da desigualdade à potência
, mantemos a desigualdade porque
é positivo e menor que 1:
Agora, temos que
é menor que
para todo
.
Passo 6
Queremos mostrar que
. Sabemos que
quando
, pois quanto maior
, menor será
.
Passo 7
Como
para
suficientemente grande e
, pelo teorema do confronto (ou sanduíche), concluímos que:
Resposta
Portanto, mostramos que se
, então
.
Exercícios relacionados
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Seja
uma funçã̃o positiva crescente definida para
. Usando considerações geométricas, mostre que
Tome
e deduza as desigualdades
Deduza que
e conclua que
Ou seja,
. (Vale também a fórmula de Stirling:
.)
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.
Se
e
então
.