Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se (xn)n in N converge e xn >= A para todo n suficientemente grande então lim xn >= A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar uma consequência da Proposição 1.21. A proposição fala sobre sequências que convergem. Aqui, vamos trabalhar com análise de sequências e limites, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e como os limites se comportam quando impomos certas condições, como para grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que uma sequência limn to infty xn = L se, para todo epsilon > 0, exists N in N tal que n >= N Rightarrow |xn - L| < epsilon converge. Dizemos que converge para um limite se, para qualquer número pequeno , existe um número natural tal que para todo , a distância entre e é menor que . Em símbolos:

Passo 3

Agora, segundo o enunciado, sabemos que para todo suficientemente grande, . Ou seja, existe um tal que para todo , temos .

Passo 4

Queremos mostrar que o limite da sequência, , também satisfaz . Para isso, vamos usar a definição de limite que mencionamos.

Passo 5

Pela definição de limite, para qualquer L - epsilon < xn < L + epsilon , existe um tal que para todo , . Isso implica que:

Passo 6

Mas sabemos que A <= xn < L + epsilon para todo . Então, combinando com a desigualdade acima:

Passo 7

Como isso vale para todo , podemos fazer bem pequeno. Isso significa que não pode ser menor que , caso contrário, haveria um pequeno que violaria a desigualdade .

Resposta

Portanto, .

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