Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se
converge e
para todo
suficientemente grande então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar uma consequência da Proposição 1.21. A proposição fala sobre sequências que convergem. Aqui, vamos trabalhar com análise de sequências e limites, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e como os limites se comportam quando impomos certas condições, como
para
grande.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que uma sequência
converge. Dizemos que
converge para um limite
se, para qualquer número pequeno
, existe um número natural
tal que para todo
, a distância entre
e
é menor que
. Em símbolos:
Passo 3
Agora, segundo o enunciado, sabemos que para todo
suficientemente grande,
. Ou seja, existe um
tal que para todo
, temos
.
Passo 4
Queremos mostrar que o limite da sequência,
, também satisfaz
. Para isso, vamos usar a definição de limite que mencionamos.
Passo 5
Pela definição de limite, para qualquer
, existe um
tal que para todo
,
. Isso implica que:
Passo 6
Mas sabemos que
para todo
. Então, combinando com a desigualdade acima:
Passo 7
Como isso vale para todo
, podemos fazer
bem pequeno. Isso significa que
não pode ser menor que
, caso contrário, haveria um
pequeno que violaria a desigualdade
.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Se
e
então
.
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.
Conclua que existe
.
Pondo
e
na identidade
deduza que se
então
; conclua daí que
para todo
.