Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se converge e para todo suficientemente grande então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar uma consequência da Proposição 1.21. A proposição fala sobre sequências que convergem. Aqui, vamos trabalhar com análise de sequências e limites, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e como os limites se comportam quando impomos certas condições, como para grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que uma sequência converge. Dizemos que converge para um limite se, para qualquer número pequeno , existe um número natural tal que para todo , a distância entre e é menor que . Em símbolos:

Passo 3

Agora, segundo o enunciado, sabemos que para todo suficientemente grande, . Ou seja, existe um tal que para todo , temos .

Passo 4

Queremos mostrar que o limite da sequência, , também satisfaz . Para isso, vamos usar a definição de limite que mencionamos.

Passo 5

Pela definição de limite, para qualquer , existe um tal que para todo , . Isso implica que:

Passo 6

Mas sabemos que para todo . Então, combinando com a desigualdade acima:

Passo 7

Como isso vale para todo , podemos fazer bem pequeno. Isso significa que não pode ser menor que , caso contrário, haveria um pequeno que violaria a desigualdade .

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Se e então .
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada.
Conclua que existe .
Pondo e na identidade
deduza que se então ; conclua daí que para todo .