(b) Obtain the Lagrangian for the continuous string by finding the kinetic and potential energies corresponding to transverse motion. The potential energy can be obtained from the work done by the tension force in stretching the string in the course of the transverse vibration.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa obter o Lagrangiano para uma corda contínua que está vibrando transversalmente. Isso envolve calcular as energias cinética e potencial correspondentes a esse movimento. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho de dinâmica de sistemas contínuos e como a energia é armazenada na corda devido à tensão quando ela se estica durante a vibração.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na descrevendo o movimento transversal da corda. Se considerarmos que a posição transversal de cada ponto da corda depende do tempo e da posição ao longo da corda, podemos representar isso por , onde é o deslocamento transversal, é a posição ao longo da corda e é o tempo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética da corda. A energia cinética ( ) de um pequeno segmento da corda é dada por:
Aqui, é a densidade de massa linear da corda ( ), é a velocidade transversal do segmento, e é um elemento infinitesimal de comprimento da corda.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a energia potencial ( ) armazenada na corda devido à tensão durante a vibração. Quando a corda se deforma transversalmente, ela também se estica um pouco, e a energia potencial está relacionada a essa deformação. A energia potencial é dada por:
Aqui, é a tensão na corda e representa a inclinação da corda em cada ponto, que está relacionada à deformação da corda.

Passo 5

Agora que temos as expressões para a energia cinética e potencial, podemos escrever o Lagrangiano ( ) da corda, que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:

Resposta

O Lagrangiano para a corda contínua em movimento transversal é:

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