Show that
Gi=-integral pi^k partial etakpartial x^i d V
is a constant of the motion if the Hamiltonian density is not an explicit function of position. The quantity Gi can be identified as the total linear momentum of the field along the x^i direction. The similarity of this theorem with the usual conservation theorem for linear momentum of discrete systems should be obvious.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício onde precisamos mostrar que a quantidade é uma constante de movimento, ou seja, ela não muda com o tempo. Isso acontece quando a densidade de Hamilton não depende explicitamente da posição . Esse representa o momento linear total do campo na direção . Para resolver isso, vamos usar conceitos da mecânica Hamiltoniana e das leis de conservação, tudo de um jeito bem tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma “constante de movimento”. Em física, isso quer dizer que a quantidade não muda ao longo do tempo. Para provar que é constante, precisamos mostrar que sua derivada temporal é zero: .

Passo 3

Agora, vamos calcular dGidt = -integral ( partial pi^kpartial t partial etakpartial x^i + pi^k partialpartial t( partial etakpartial x^i ) ) dV . Como é uma integral que depende de e , aplicamos a derivada temporal dentro da integral:

Passo 4

Vamos lembrar das equações de Hamilton para campos, que nos dizem como partial etakpartial t = partial Hpartial pi^k e partial pi^kpartial t = -partial Hpartial etak e evoluem no tempo:

Passo 5

Substituindo essas equações na expressão de dGidt = -integral ( -partial Hpartial etak partial etakpartial x^i + pi^k partialpartial x^i( partial Hpartial pi^k ) ) dV :

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. O primeiro termo fica:
integral partial Hpartial etak partial etakpartial x^i , dV
E o segundo termo:
- integral pi^k partialpartial x^i( partial Hpartial pi^k ) dV

Passo 7

Agora, consideramos que a densidade de Hamilton partial Hpartial x^i = partial Hpartial etak partial etakpartial x^i + partial Hpartial pi^k partial pi^kpartial x^i = 0 não depende explicitamente da posição . Isso significa que toda variação espacial de vem apenas das variações de e . Portanto, podemos aplicar a regra da cadeia para obter:

Passo 8

Dessa forma, a expressão dentro da integral se anula:
partial Hpartial etak partial etakpartial x^i = - pi^k partialpartial x^i( partial Hpartial pi^k )
Então,
dGidt = 0

Resposta

Portanto, mostramos que não muda com o tempo, ou seja, é uma constante de movimento quando a densidade de Hamilton não depende explicitamente da posição .

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