Show that the Korteweg-deVries equation corresponds to the field equation for a scalar field
with Lagrangian density
where the subscripts indicate derivatives with respect to the variables indicated, provided
is a potential function for the quantity
of Eq. (13.117):
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que a equação de Korteweg-de Vries (KdV) corresponde à equação de campo para uma função escalar
com a densidade lagrangiana dada. Basicamente, vamos usar princípios de física e cálculo para derivar a equação KdV a partir dessa densidade. Para isso, vamos precisar entender o que é uma densidade lagrangiana, como aplicar a equação de Euler-Lagrange e como relacionar
com
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade lagrangiana
é uma função que descreve o sistema físico. Para encontrar a equação de movimento (nesse caso, a equação de campo para
), usamos a equação de Euler-Lagrange. A equação de Euler-Lagrange para campos é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada termo dessa equação utilizando a densidade lagrangiana fornecida:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
-
: Observando , não há termos que dependem diretamente de , então essa derivada é zero. -
-
-
Passo 4
Agora, vamos substituir esses resultados na equação de Euler-Lagrange:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Juntando tudo:
Notamos que
, então podemos simplificar:
Multiplicando os dois lados por -1 para simplificar os sinais:
Passo 6
Agora, vamos usar a relação fornecida:
Isso implica que
e
. Substituindo na equação:
Passo 7
Essa é exatamente a forma da equação de Korteweg-de Vries (KdV):
Portanto, mostramos que a equação de KdV deriva da equação de campo para a função escalar
com a densidade lagrangiana fornecida, usando
.
Resposta
A equação de Korteweg-de Vries é obtida como a equação de campo para
a partir da densidade lagrangiana dada, ou seja: