Show that the Korteweg-deVries equation corresponds to the field equation for a scalar field psi with Lagrangian density
L=12 psix psit+alpha6 psix^3-v2 psix x^2,
where the subscripts indicate derivatives with respect to the variables indicated, provided psi is a potential function for the quantity phi of Eq. (13.117):
phi=partial psipartial x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que a equação de Korteweg-de Vries (KdV) corresponde à equação de campo para uma função escalar com a densidade lagrangiana dada. Basicamente, vamos usar princípios de física e cálculo para derivar a equação KdV a partir dessa densidade. Para isso, vamos precisar entender o que é uma densidade lagrangiana, como aplicar a equação de Euler-Lagrange e como relacionar com .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade lagrangiana partial Lpartial psi - ddt ( partial Lpartial psit ) - ddx ( partial Lpartial psix ) + d^2dx^2 ( partial Lpartial psixx ) = 0 é uma função que descreve o sistema físico. Para encontrar a equação de movimento (nesse caso, a equação de campo para ), usamos a equação de Euler-Lagrange. A equação de Euler-Lagrange para campos é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo dessa equação utilizando a densidade lagrangiana fornecida:
L = 12 psix psit + alpha6 psix^3 - v2 psixx^2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
  1. : Observando , não há termos que dependem diretamente de , então essa derivada é zero.

Passo 4

Agora, vamos substituir esses resultados na equação de Euler-Lagrange:
0 - ddt ( 12 psix ) - ddx ( 12 psit + alpha2 psix^2 ) + d^2dx^2 ( -v psixx ) = 0
Simplificando cada termo:

Passo 5

Juntando tudo:
-12 psixt - 12 psitx - alpha psix psixx - v psixxxx = 0
Notamos que - psixt - alpha psix psixx - v psixxxx = 0 , então podemos simplificar:
psixt + alpha psix psixx + v psixxxx = 0
Multiplicando os dois lados por -1 para simplificar os sinais:

Passo 6

Agora, vamos usar a relação fornecida:
phi = partial psipartial x = psix
Isso implica que phit + alpha phi phix + v phixxx = 0 e . Substituindo na equação:

Passo 7

Essa é exatamente a forma da equação de Korteweg-de Vries (KdV):
phit + alpha phi phix + v phixxx = 0
Portanto, mostramos que a equação de KdV deriva da equação de campo para a função escalar com a densidade lagrangiana fornecida, usando .

Resposta

A equação de Korteweg-de Vries é obtida como a equação de campo para phit + alpha phi phix + v phixxx = 0 a partir da densidade lagrangiana dada, ou seja:

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