Show that the Korteweg-deVries equation corresponds to the field equation for a scalar field with Lagrangian density
where the subscripts indicate derivatives with respect to the variables indicated, provided is a potential function for the quantity of Eq. (13.117):

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que a equação de Korteweg-de Vries (KdV) corresponde à equação de campo para uma função escalar com a densidade lagrangiana dada. Basicamente, vamos usar princípios de física e cálculo para derivar a equação KdV a partir dessa densidade. Para isso, vamos precisar entender o que é uma densidade lagrangiana, como aplicar a equação de Euler-Lagrange e como relacionar com .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade lagrangiana é uma função que descreve o sistema físico. Para encontrar a equação de movimento (nesse caso, a equação de campo para ), usamos a equação de Euler-Lagrange. A equação de Euler-Lagrange para campos é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo dessa equação utilizando a densidade lagrangiana fornecida:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
  1. : Observando , não há termos que dependem diretamente de , então essa derivada é zero.

Passo 4

Agora, vamos substituir esses resultados na equação de Euler-Lagrange:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Juntando tudo:
Notamos que , então podemos simplificar:
Multiplicando os dois lados por -1 para simplificar os sinais:

Passo 6

Agora, vamos usar a relação fornecida:
Isso implica que e . Substituindo na equação:

Passo 7

Essa é exatamente a forma da equação de Korteweg-de Vries (KdV):
Portanto, mostramos que a equação de KdV deriva da equação de campo para a função escalar com a densidade lagrangiana fornecida, usando .

Resposta

A equação de Korteweg-de Vries é obtida como a equação de campo para a partir da densidade lagrangiana dada, ou seja:

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