(a) Describe the field of sound vibrations in a gas in the Hamiltonian formalism and obtain the corresponding Hamilton equations of motion.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma questão sobre vibrações sonoras em um gás utilizando a formalismo Hamiltoniano. Basicamente, precisamos descrever como essas vibrações se comportam usando as ferramentas da mecânica Hamiltoniana. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de Hamiltoniano, campos de vibração e como aplicar as equações de Hamilton ao sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são vibrações sonoras em um gás. O som é uma onda de pressão que se propaga através de um meio, como o ar. Essas vibrações podem ser descritas por variáveis de campo, que nos dizem como a pressão e o deslocamento das partículas do gás variam no espaço e no tempo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o formalismo Hamiltoniano. Na mecânica Hamiltoniana, descrevemos um sistema em termos de coordenadas generalizadas e seus momentos conjugados, e usamos o Hamiltoniano , que representa a energia total do sistema, para derivar as equações de movimento.

Passo 4

Para aplicar isso ao campo de vibrações sonoras, precisamos identificar as variáveis de campo apropriadas. Vamos usar para representar o potencial escalar da velocidade, que está relacionado ao deslocamento das partículas do gás, e como o momento conjugado a , que está relacionado à densidade de energia do sistema.

Passo 5

O próximo passo é escrever o Hamiltoniano para o campo de vibrações sonoras. Geralmente, ele tem a forma:
H = integral [ 12 pi^2 + 12 c^2 (nabla phi)^2 ] d^3x
Aqui, é a velocidade do som no gás, representa a energia cinética, e representa a energia potencial da onda sonora.

Passo 6

Com o Hamiltoniano definido, podemos usar as equações de Hamilton para campos, que são generalizações das equações de Hamilton para sistemas com infinitos graus de liberdade. As equações são:
partial phipartial t = de
partial pipartial t = -de
Onde e são as derivadas funcionais do Hamiltoniano em relação a e , respectivamente.

Passo 7

Vamos calcular essas derivadas funcionais. Primeiramente:
de
E:
de
Onde é o operador laplaciano, que descreve como a função se espalha no espaço.

Passo 8

Substituindo essas derivadas nas equações de Hamilton, temos:
partial phipartial t = pi
partial pipartial t = c^2 nabla^2 phi
Essas são as equações de movimento para o campo de vibrações sonoras no formalismo Hamiltoniano.

Resposta

As equações de Hamilton correspondentes ao campo de vibrações sonoras em um gás são:
partial phipartial t = pi
partial pipartial t = c^2 nabla^2 phi

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