(a) Describe the field of sound vibrations in a gas in the Hamiltonian formalism and obtain the corresponding Hamilton equations of motion.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma questão sobre vibrações sonoras em um gás utilizando a formalismo Hamiltoniano. Basicamente, precisamos descrever como essas vibrações se comportam usando as ferramentas da mecânica Hamiltoniana. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de Hamiltoniano, campos de vibração e como aplicar as equações de Hamilton ao sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são vibrações sonoras em um gás. O som é uma onda de pressão que se propaga através de um meio, como o ar. Essas vibrações podem ser descritas por variáveis de campo, que nos dizem como a pressão e o deslocamento das partículas do gás variam no espaço e no tempo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o formalismo Hamiltoniano. Na mecânica Hamiltoniana, descrevemos um sistema em termos de coordenadas generalizadas e seus momentos conjugados, e usamos o Hamiltoniano
, que representa a energia total do sistema, para derivar as equações de movimento.
Passo 4
Para aplicar isso ao campo de vibrações sonoras, precisamos identificar as variáveis de campo apropriadas. Vamos usar
para representar o potencial escalar da velocidade, que está relacionado ao deslocamento das partículas do gás, e
como o momento conjugado a
, que está relacionado à densidade de energia do sistema.
Passo 5
O próximo passo é escrever o Hamiltoniano para o campo de vibrações sonoras. Geralmente, ele tem a forma:
Aqui,
é a velocidade do som no gás,
representa a energia cinética, e
representa a energia potencial da onda sonora.
Passo 6
Com o Hamiltoniano definido, podemos usar as equações de Hamilton para campos, que são generalizações das equações de Hamilton para sistemas com infinitos graus de liberdade. As equações são:
Onde
e
são as derivadas funcionais do Hamiltoniano em relação a
e
, respectivamente.
Passo 7
Vamos calcular essas derivadas funcionais. Primeiramente:
E:
Onde
é o operador laplaciano, que descreve como a função
se espalha no espaço.
Passo 8
Substituindo essas derivadas nas equações de Hamilton, temos:
Essas são as equações de movimento para o campo de vibrações sonoras no formalismo Hamiltoniano.
Resposta
As equações de Hamilton correspondentes ao campo de vibrações sonoras em um gás são: