In a 4 -space with metric
of trace +2 , evaluate explicitly the elements of the covariant (mathematically speaking) tensor
of the electromagnetic field. Also give the elements of the matrix with one index lifted and with two indices lifted:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Física Teórica, mais especificamente de Relatividade Geral ou Teoria dos Campos. O problema fala sobre um espaço de 4 dimensões com um tensor métrico
cujo traço é +2. A gente precisa calcular os elementos do tensor covariante do campo eletromagnético
e também as matrizes resultantes quando levantamos os índices desse tensor usando o tensor métrico. Para fazer isso, vamos precisar entender como funciona a elevação de índices com o tensor métrico e aplicar isso ao tensor eletromagnético.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o tensor métrico
. Ele é usado para medir distâncias e ângulos no espaço-tempo e também para levantar e abaixar índices de tensores. O traço do tensor métrico é a soma dos elementos na diagonal principal, ou seja:
Isso nos dá uma condição sobre os componentes do tensor métrico que vamos usar mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o tensor eletromagnético
. Esse tensor descreve os campos elétrico e magnético de uma maneira covariante, ou seja, independente da referência que a gente escolhe. Ele é antisímico, o que significa que
. Sem informações específicas sobre os componentes de
, vamos trabalhar de forma geral.
Passo 4
Para levantar um índice do tensor
, a gente usa o tensor métrico
, que é a matriz inversa de
. A fórmula para levantar um índice é:
Isso significa que cada elemento de
é obtido somando-se os produtos dos elementos correspondentes de
e
.
Passo 5
Para levantar os dois índices do tensor
, usamos o tensor métrico duas vezes:
Aqui, a gente está levantando o primeiro índice com
e o segundo índice com
. Novamente, isso envolve multiplicar e somar os componentes correspondentes dos tensores.
Passo 6
Como o traço do tensor métrico é +2, isso influencia na inversa
, mas sem detalhes específicos sobre os componentes de
, não conseguimos calcular valores numéricos exatos para
,
e
. No entanto, o importante aqui é entender o processo de elevação de índices usando o tensor métrico.
Resposta
Portanto, os elementos do tensor covariante do campo eletromagnético são
, e ao levantar um índice usamos
. Levando os dois índices, temos
. Sem componentes específicos do tensor métrico, não podemos calcular valores numéricos, mas o procedimento para elevar os índices está claramente definido.