In a 4 -space with metric gmu nu of trace +2 , evaluate explicitly the elements of the covariant (mathematically speaking) tensor Fmu nu of the electromagnetic field. Also give the elements of the matrix with one index lifted and with two indices lifted:
Frho^lambda=g^lambda mu Fmu nu ; F^lambda rho=g^lambda mu Fmu nu g^rho nu

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Física Teórica, mais especificamente de Relatividade Geral ou Teoria dos Campos. O problema fala sobre um espaço de 4 dimensões com um tensor métrico cujo traço é +2. A gente precisa calcular os elementos do tensor covariante do campo eletromagnético e também as matrizes resultantes quando levantamos os índices desse tensor usando o tensor métrico. Para fazer isso, vamos precisar entender como funciona a elevação de índices com o tensor métrico e aplicar isso ao tensor eletromagnético.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o tensor métrico Traço(g) = g00 + g11 + g22 + g33 = 2 . Ele é usado para medir distâncias e ângulos no espaço-tempo e também para levantar e abaixar índices de tensores. O traço do tensor métrico é a soma dos elementos na diagonal principal, ou seja:
ç
Isso nos dá uma condição sobre os componentes do tensor métrico que vamos usar mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o tensor eletromagnético . Esse tensor descreve os campos elétrico e magnético de uma maneira covariante, ou seja, independente da referência que a gente escolhe. Ele é antisímico, o que significa que . Sem informações específicas sobre os componentes de , vamos trabalhar de forma geral.

Passo 4

Para levantar um índice do tensor Frho^lambda = g^lambda mu Fmu nu , a gente usa o tensor métrico , que é a matriz inversa de . A fórmula para levantar um índice é:
Isso significa que cada elemento de é obtido somando-se os produtos dos elementos correspondentes de e .

Passo 5

Para levantar os dois índices do tensor F^lambda rho = g^lambda mu Fmu nu g^rho nu , usamos o tensor métrico duas vezes:
Aqui, a gente está levantando o primeiro índice com e o segundo índice com . Novamente, isso envolve multiplicar e somar os componentes correspondentes dos tensores.

Passo 6

Como o traço do tensor métrico é +2, isso influencia na inversa , mas sem detalhes específicos sobre os componentes de , não conseguimos calcular valores numéricos exatos para , e . No entanto, o importante aqui é entender o processo de elevação de índices usando o tensor métrico.

Resposta

Portanto, os elementos do tensor covariante do campo eletromagnético são , e ao levantar um índice usamos . Levando os dois índices, temos . Sem componentes específicos do tensor métrico, não podemos calcular valores numéricos, mas o procedimento para elevar os índices está claramente definido.

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