(b) Obtenha uma solução geral da EDO: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Aqui, representa a derivada de em relação a . Vamos resolver essa equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos que contêm de um lado e os outros termos do outro lado. Assim, temos:
Aqui, movemos o termo para o lado esquerdo da igualdade.

Passo 3

Agora, vamos fatorar nos termos do lado esquerdo:
Isso facilita a expressão da derivada isoladamente.

Passo 4

Em seguida, isolamos dividindo ambos os lados da equação por :
Agora, temos uma expressão para que podemos utilizar para separar as variáveis.

Passo 5

Vamos separar as variáveis e para integrar ambos os lados. Multiplicando ambos os lados por e , obtemos:
Isso nos permite integrar cada lado da equação separadamente.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
Vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 7

Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Aqui, integramos termo a termo e adicionamos a constante de integração .

Passo 8

Agora, a integral do lado direito:
Novamente, integramos term a termo e adicionamos a constante de integração .

Passo 9

Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante .

Passo 10

Assim, a solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:

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