(b) Obtenha uma solução geral da EDO:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Vamos resolver essa equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos que contêm
de um lado e os outros termos do outro lado. Assim, temos:
Aqui, movemos o termo
para o lado esquerdo da igualdade.
Passo 3
Agora, vamos fatorar
nos termos do lado esquerdo:
Isso facilita a expressão da derivada
isoladamente.
Passo 4
Em seguida, isolamos
dividindo ambos os lados da equação por
:
Agora, temos uma expressão para
que podemos utilizar para separar as variáveis.
Passo 5
Vamos separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados. Multiplicando ambos os lados por
e
, obtemos:
Isso nos permite integrar cada lado da equação separadamente.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Passo 7
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Aqui, integramos termo a termo e adicionamos a constante de integração
.
Passo 8
Agora, a integral do lado direito:
Novamente, integramos term a termo e adicionamos a constante de integração
.
Passo 9
Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
.
Passo 10
Assim, a solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é:
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Seja
a região no
octante delimitada abaixo pelo cone
e acima pela esfera
. Expresse o volume de D como uma integral tripla em: Coordenadas cilindricas
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(a) Use transformada de Laplace para resolver o PVI: