Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral tripla:
Esse tipo de integral é chamado de integral iterada, onde a gente integra uma função em relação a uma variável de cada vez, seguindo as ordens de integração especificadas. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, integrando primeiro em relação a
, depois a
, e por último a
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função
em relação a
, mantendo
e
constantes. Isso significa que tratamos
e
como números fixos enquanto variamos
.
A integral fica assim:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Vamos definir:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Agora, mudamos os limites de integração de
para
:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Agora, integramos
:
Como
, isso simplifica para:
Então, após integrar em relação a
, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar
em relação a
, com os limites de
de
a
:
Mais uma vez, vamos fazer uma substituição. Definimos:
Mudando os limites de
para
:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Portanto, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
, com os limites de
de
a
:
Integrando cada termo separadamente:
- Para
:
- Para
:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral é
.
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Seja
a região no
octante delimitada abaixo pelo cone
e acima pela esfera
. Expresse o volume de D como uma integral tripla em: Coordenadas cilindricas
(b) Obtenha uma solução geral da EDO:
.