Calcule a integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral tripla:
Esse tipo de integral é chamado de integral iterada, onde a gente integra uma função em relação a uma variável de cada vez, seguindo as ordens de integração especificadas. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, integrando primeiro em relação a , depois a , e por último a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função em relação a , mantendo e constantes. Isso significa que tratamos e como números fixos enquanto variamos .
A integral fica assim:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Vamos definir:
Derivando ambos os lados em relação a :
Agora, mudamos os limites de integração de para :
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:
Agora, integramos :
Como , isso simplifica para:
Então, após integrar em relação a , temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a , com os limites de de a :
Mais uma vez, vamos fazer uma substituição. Definimos:
Mudando os limites de para :
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:
Portanto, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a , com os limites de de a :
Integrando cada termo separadamente:
  1. Para :
  1. Para :
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que:
Substituindo:

Resposta

O valor da integral é .

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(b) Obtenha uma solução geral da EDO: .