Calcule a integral iterada. integral0^pi / 2 integral0^2 x integral0^x+z cos (x-2 y+z) d y d z d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral tripla:
integral0^pi / 2 integral0^2x integral0^x+z cos (x - 2y + z) , dy , dz , dx
Esse tipo de integral é chamado de integral iterada, onde a gente integra uma função em relação a uma variável de cada vez, seguindo as ordens de integração especificadas. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo, integrando primeiro em relação a , depois a , e por último a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função I1(x, z) = integral0^x + z cos(x - 2y + z) , dy em relação a u = x - 2y + z , mantendo du = -2 , dy Rightarrow dy = -12 , du e I1(x, z) = integralx + z^-x - z cos(u) (-12) du = 12 integral-x - z^x + z cos(u) , du constantes. Isso significa que tratamos I1(x, z) = 12 [ sin(u) ]-x - z^x + z = 12 ( sin(x + z) - sin(-x - z) ) e I1(x, z) = 12 ( sin(x + z) + sin(x + z) ) = sin(x + z) como números fixos enquanto variamos I1(x, z) = sin(x + z) .
A integral fica assim:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Vamos definir:
Derivando ambos os lados em relação a :
Agora, mudamos os limites de integração de para :
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:
Agora, integramos :
Como , isso simplifica para:
Então, após integrar em relação a , temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar I2(x) = integral0^2x sin(x + z) , dz em relação a u = x + z Rightarrow du = dz , com os limites de I2(x) = integralx^3x sin(u) , du = [ -cos(u) ]x^3x = -cos(3x) + cos(x) de I2(x) = cos(x) - cos(3x) a :
Mais uma vez, vamos fazer uma substituição. Definimos:
Mudando os limites de para :
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:
Portanto, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar I = integral0^pi / 2 [ cos(x) - cos(3x) ] , dx em relação a integral cos(x) , dx = sin(x) + C , com os limites de integral cos(3x) , dx = sin(3x)3 + C de I = [ sin(x) - sin(3x)3 ]0^pi / 2 = ( sin( pi2 ) - sin( 3pi2 )3 ) - ( sin(0) - sin(0)3 ) a I = ( 1 - -13 ) - (0 - 0) = 1 + 13 = 43 :
Integrando cada termo separadamente:
  1. Para :
  1. Para :
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que:
Substituindo:

Resposta

O valor da integral é .

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