Seja
a região no
octante delimitada abaixo pelo cone
e acima pela esfera
. Expresse o volume de D como uma integral tripla em: Coordenadas cilindricas
Passo 1
Vamos resolver o problema que nos pede para calcular o volume da região
no primeiro octante, limitada abaixo pelo cone
e acima pela esfera
. Para isso, vamos utilizar as coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para sistemas de simetria circular como cones e esferas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a altura do ponto.
Isso facilita a descrição de formas circulares e esféricas.
Passo 3
Vamos transformar as equações do cone e da esfera para coordenadas cilíndricas. A esfera
em coordenadas cilíndricas é:
E o cone
se transforma em:
Passo 4
Determinar os limites de integração. No primeiro octante, os ângulos variam de
a
. Para
e
, observamos que:
- O cone fornece
, - A esfera fornece
.
Portanto, para cada
,
varia de
até
.
Passo 5
Estabelecer a integral tripla em coordenadas cilíndricas. O volume
é dado por:
Aqui, o fator
vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Resposta
O volume de
é dado pela integral tripla:
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Calcule a integral iterada.
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(b) Obtenha uma solução geral da EDO:
.
(a) Qual o maior intervalo conexo para o qual existe solução do PVI: