Seja a região no octante delimitada abaixo pelo cone e acima pela esfera . Expresse o volume de D como uma integral tripla em: Coordenadas cilindricas

Passo 1

Vamos resolver o problema que nos pede para calcular o volume da região no primeiro octante, limitada abaixo pelo cone e acima pela esfera . Para isso, vamos utilizar as coordenadas cilíndricas, que são muito úteis para sistemas de simetria circular como cones e esferas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura do ponto.
Isso facilita a descrição de formas circulares e esféricas.

Passo 3

Vamos transformar as equações do cone e da esfera para coordenadas cilíndricas. A esfera em coordenadas cilíndricas é:
E o cone se transforma em:

Passo 4

Determinar os limites de integração. No primeiro octante, os ângulos variam de a . Para e , observamos que:
  • O cone fornece ,
  • A esfera fornece .
Portanto, para cada , varia de até .

Passo 5

Estabelecer a integral tripla em coordenadas cilíndricas. O volume é dado por:
Aqui, o fator vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Resposta

O volume de é dado pela integral tripla:

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Calcule a integral iterada.
Calcule a integral iterada.
(b) Obtenha uma solução geral da EDO: .
(a) Qual o maior intervalo conexo para o qual existe solução do PVI: