Se B=PA P^-1, expresse B^2, B^3, ldots ldots, B^k (k inteiro positivo) em termos de A , P e P^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você recebeu um exercício que envolve matrizes e operações com elas. O enunciado diz que e pede para expressar (onde é um número inteiro positivo) em termos de , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicação de matrizes funciona e como aplicar potências a essa expressão inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa multiplicar matrizes. Quando temos duas matrizes e , o produto é calculado multiplicando linhas de pelas colunas de . Importante lembrar que, em geral, .

Passo 3

Agora, observamos que B^2 = B cdot B = (PA P^-1) cdot (PA P^-1) . Queremos encontrar . Vamos fazer isso multiplicando por si mesma:

Passo 4

Podemos reorganizar essa expressão para facilitar a multiplicação. Lembre-se que a multiplicação de matrizes é associativa, então podemos agrupar da seguinte forma:
B^2 = P cdot A cdot (P^-1 P) cdot A cdot P^-1
Aqui, é igual à matriz identidade , pois uma matriz multiplicada pela sua inversa resulta na identidade.

Passo 5

Substituindo B^2 = P cdot A cdot I cdot A cdot P^-1 por B^2 = P cdot A^2 cdot P^-1 , temos:
Como multiplicar qualquer matriz pela identidade não altera a matriz, podemos simplificar:

Passo 6

Perceba o padrão que se forma aqui. Quando elevamos B^k = P cdot A^k cdot P^-1 ao quadrado, acabamos com ao quadrado no meio, cercado por e . Isso sugere que, para uma potência qualquer , teremos:
Isso ocorre porque cada vez que multiplicamos por si mesma, as matrizes e se cancelam no meio, deixando apenas elevado à potência desejada.

Resposta

Para qualquer número inteiro positivo B^k = P cdot A^k cdot P^-1 , temos:

Exercícios relacionados

Resolva a equação matricial para X. Simplifique suas respostas tanto quanto possível. Assuma que todas as matrizes envolvidas sejam invertíveis.
(a) X A^2=A^-1
Use a álgebra matricial para mostrar que se A for invertível e C satisfaz AC=I, então C=A^-1.
Encontre os valores de t para os quais A é invertível.
(b) A=(ccct & t & 0 t^2 & 2 & t 0 & t & t)
Determine, justificando, quais das matrizes a seguir são invertíveis.
(ll1 & 2 3 & 4)