Se , expresse (k inteiro positivo) em termos de A , P e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você recebeu um exercício que envolve matrizes e operações com elas. O enunciado diz que e pede para expressar (onde é um número inteiro positivo) em termos de , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicação de matrizes funciona e como aplicar potências a essa expressão inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa multiplicar matrizes. Quando temos duas matrizes e , o produto é calculado multiplicando linhas de pelas colunas de . Importante lembrar que, em geral, .
Passo 3
Agora, observamos que . Queremos encontrar . Vamos fazer isso multiplicando por si mesma:
Passo 4
Podemos reorganizar essa expressão para facilitar a multiplicação. Lembre-se que a multiplicação de matrizes é associativa, então podemos agrupar da seguinte forma:
Aqui, é igual à matriz identidade , pois uma matriz multiplicada pela sua inversa resulta na identidade.
Passo 5
Substituindo por , temos:
Como multiplicar qualquer matriz pela identidade não altera a matriz, podemos simplificar:
Passo 6
Perceba o padrão que se forma aqui. Quando elevamos ao quadrado, acabamos com ao quadrado no meio, cercado por e . Isso sugere que, para uma potência qualquer , teremos:
Isso ocorre porque cada vez que multiplicamos por si mesma, as matrizes e se cancelam no meio, deixando apenas elevado à potência desejada.