Resolva a equação matricial para X. Simplifique suas respostas tanto quanto possível. Assuma que todas as matrizes envolvidas sejam invertíveis.
(a) X A^2=A^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação matricial para encontrar a matriz . Aqui, estamos lidando com matrizes que têm inverso, então vamos usar as propriedades de matrizes inversas para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, nosso objetivo é isolar a matriz X A^2 (A^2)^-1 = A^-1 (A^2)^-1 . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo inverso de , que é . Aí vai:

Passo 3

Sabemos que uma matriz multiplicada pelo seu inverso resulta na matriz identidade X I = A^-1 (A^2)^-1 . Então, simplificando a esquerda da equação:
X = A^-1 (A^2)^-1
E como qualquer matriz multiplicada por continua sendo ela mesma:

Passo 4

Agora, vamos simplificar (A^2)^-1 = A^-2 . Usando a propriedade dos inversos de potências, sabemos que X = A^-1 A^-2 . Então:
Substituindo isso na equação:

Passo 5

Quando multiplicamos potências da mesma base, somamos os expoentes. Portanto:
A^-1 A^-2 = A^-3

Resposta

A solução para a equação matricial é:
X = A^-3

Exercícios relacionados

Use a álgebra matricial para mostrar que se A for invertível e C satisfaz AC=I, então C=A^-1.
Sob que condições em A e B é verdade que (A B)^-1=A^-1 B^-1.
Se B=PA P^-1, expresse B^2, B^3, ldots ldots, B^k (k inteiro positivo) em termos de A , P e P^-1.
Encontre os valores de t para os quais A é invertível.
(b) A=(ccct & t & 0 t^2 & 2 & t 0 & t & t)