Use a álgebra matricial para mostrar que se A for invertível e C satisfaz AC=I, então C=A^-1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma matriz que é invertível, ou seja, existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. Também temos uma matriz que satisfaz a equação . Nosso objetivo é mostrar que é, na verdade, a inversa de , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de álgebra matricial, principalmente sobre matrizes inversas e suas propriedades.

Passo 2

Sabemos que se uma matriz é invertível, então existe uma única matriz inversa que satisfaz e . Isso significa que a matriz inversa é única.

Passo 3

Dado que é invertível e que , isso se alinha exatamente com a definição de . Ou seja, está agindo como a matriz que, multiplicada por , resulta na identidade.

Passo 4

Como a inversa de é única, e satisfaz a condição de ser a matriz inversa de , podemos concluir que deve ser igual a .

Resposta

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Sob que condições em A e B é verdade que (A B)^-1=A^-1 B^-1.
Determine, justificando, quais das matrizes a seguir são invertíveis.
(lll1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 1 & 1 & 0)
Resolva a equação matricial para X. Simplifique suas respostas tanto quanto possível. Assuma que todas as matrizes envolvidas sejam invertíveis.
(a) X A^2=A^-1
Se B=PA P^-1, expresse B^2, B^3, ldots ldots, B^k (k inteiro positivo) em termos de A , P e P^-1.