b) Uma partícula de massa m se move em uma dimensão sob a ação de um potencial
V(x)=F0|x|
Use o principio da incerteza para estimar a mínima energia total da partícula (cinética mais potencial) em função de m, F0 e h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa que se move numa dimensão só, e ela está sob a influência de um potencial . Nosso objetivo aqui é usar o princípio da incerteza de Heisenberg para estimar a menor energia total que essa partícula pode ter, considerando tanto a energia cinética quanto a potencial. Para isso, vamos precisar entender direitinho o que é o princípio da incerteza e como ele se aplica a esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o princípio da incerteza. Basicamente, ele nos diz que não dá pra saber exatamente onde a partícula está e quão rápido ela está se movendo ao mesmo tempo. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui, é a incerteza na posição, é a incerteza no momento (que está relacionada à velocidade), e é a constante de Planck.

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com as energias. A energia cinética Ek = p^22m de uma partícula é dada por:
Ek approx (De
Como estamos lidando com incertezas, podemos aproximar o momento por . Então, a energia cinética fica:

Passo 4

Por outro lado, a energia potencial Ep approx F0 De já foi dada como . Aqui, a incerteza na posição nos dá uma estimativa da energia potencial:

Passo 5

Nossa energia total E = Ek + Ep approx (De é a soma da energia cinética e da energia potencial:
E approx (h4pi De
Mas, sabemos pelo princípio da incerteza que . Para encontrar a energia mínima, vamos substituir por essa expressão:

Passo 6

Agora, para encontrar o mínimo da energia total, vamos derivar dEdDe com relação a -h^216pi^2 m (De e igualar a zero:
De
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos Emin = h^232pi^2 m (De, vamos substituir de volta na expressão da energia total para encontrar a energia mínima:
Emin = h^232pi^2 m ( h^216pi^2 m F0 )^23 + F0 ( h^216pi^2 m F0 )^13
Substituindo Emin = ( 3 h F02 )^23 ( 1m )^13 :
Simplificando os termos, chegamos a:

Resposta

A mínima energia total da partícula é dada por:
Emin = ( 3 h F02 )^23 ( 1m )^13

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