Tomando temos o chamado poço de potencial infinito, que representa (bem) aproximadamente a situação de um elétron livre (a) Obtenha os autoestados (normalizados) e autovalores possíveis para um elétron no poço infinito (x entre ).
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de Mecânica Quântica sobre o poço de potencial infinito. O enunciado pede para encontrar os autoestados (as funções de onda normalizadas) e os autovalores (os níveis de energia) para um elétron confinado em um poço infinito que vai de até . Para isso, vamos usar a Equação de Schrödinger dependente de tempo para um sistema independente de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o poço de potencial infinito. Dentro do poço (), o potencial é zero, ou seja, . Fora desse intervalo, o potencial é infinito, o que significa que o elétron não pode existir fora do poço. Isso nos leva a condições de contorno onde a função de onda precisa ser zero nas paredes do poço ( e ).
Passo 3
A próxima etapa é escrever a Equação de Schrödinger para essa situação. Como o potencial dentro do poço é zero, a equação fica:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa do elétron, e é a energia do estado.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para facilitar a solução:
onde .
Essa é uma equação diferencial harmônica, e suas soluções são combinações de funções seno e cosseno:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar os valores possíveis de e determinar as constantes e .
Em :
Isso implica que , então a função de onda simplifica para:
Em :
Para que essa equação seja satisfeita sem que (o que levaria a uma função de onda trivial), precisamos que . Isso acontece quando:
Portanto,
Passo 6
Com , podemos expressar a função de onda:
Agora, precisamos normalizar a função de onda, ou seja, garantir que a probabilidade total de encontrar o elétron dentro do poço seja 1:
Substituindo :
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Então, a função de onda normalizada é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovalores (os níveis de energia ). Voltando à expressão de :
Substituindo na expressão de energia que havíamos definido:
Resposta
Os autoestados normalizados para um elétron no poço infinito são:
E os autovalores (níveis de energia) correspondentes são: