Tomando V0 infty temos o chamado poço de potencial infinito, que representa (bem) aproximadamente a situação de um elétron livre (a) Obtenha os autoestados (normalizados) e autovalores possíveis para um elétron no poço infinito (x entre 0 e a ).

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de Mecânica Quântica sobre o poço de potencial infinito. O enunciado pede para encontrar os autoestados (as funções de onda normalizadas) e os autovalores (os níveis de energia) para um elétron confinado em um poço infinito que vai de até . Para isso, vamos usar a Equação de Schrödinger dependente de tempo para um sistema independente de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o poço de potencial infinito. Dentro do poço ( ), o potencial é zero, ou seja, . Fora desse intervalo, o potencial é infinito, o que significa que o elétron não pode existir fora do poço. Isso nos leva a condições de contorno onde a função de onda precisa ser zero nas paredes do poço ( e ).

Passo 3

A próxima etapa é escrever a Equação de Schrödinger para essa situação. Como o potencial dentro do poço é zero, a equação fica:
- hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x)
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa do elétron, e é a energia do estado.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar a solução:
d^2 psi(x)dx^2 + k^2 psi(x) = 0
onde psi(x) = A sin(kx) + B cos(kx) .
Essa é uma equação diferencial harmônica, e suas soluções são combinações de funções seno e cosseno:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar os valores possíveis de psi(0) = A sin(0) + B cos(0) = B = 0 e determinar as constantes psi(x) = A sin(kx) e psi(a) = A sin(ka) = 0 .
  1. Em ka = npi onde n = 1, 2, 3, ldots :
k = npia
Isso implica que , então a função de onda simplifica para:
  1. Em :
Para que essa equação seja satisfeita sem que (o que levaria a uma função de onda trivial), precisamos que . Isso acontece quando:
Portanto,

Passo 6

Com psin(x) = A sin(npi xa) , podemos expressar a função de onda:
integral0^a |psin(x)|^2 dx = 1
Agora, precisamos normalizar a função de onda, ou seja, garantir que a probabilidade total de encontrar o elétron dentro do poço seja 1:
A^2 integral0^a sin^2(npi xa) dx = 1
Substituindo integral sin^2(kx) dx = x2 - sin(2kx)4k + C :
A^2 [ a2 ] = 1 Rightarrow A^2 = 2a Rightarrow A = raiz2a
Sabemos que:
psin(x) = raiz2a sin(npi xa)
Aplicando os limites:
Então, a função de onda normalizada é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovalores (os níveis de energia k = npia Rightarrow k^2 = n^2 pi^2a^2 ). Voltando à expressão de E = hbar^2 k^22m = hbar^2 n^2 pi^22m a^2 :
Substituindo na expressão de energia que havíamos definido:

Resposta

Os autoestados normalizados para um elétron no poço infinito são:
psin(x) = raiz2a sin(npi xa), n = 1, 2, 3, ldots
E os autovalores (níveis de energia) correspondentes são:
En = hbar^2 n^2 pi^22m a^2, n = 1, 2, 3, ldots

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b) Uma partícula de massa m se move em uma dimensão sob a ação de um potencial
V(x)=F0|x|
Use o principio da incerteza para estimar a mínima energia total da partícula (cinética mais potencial) em função de m, F0 e h.
Dados três operadores representados na sua forma matricial:
l O1=(ll 0 & 1 1 & 0 ) O2=(cc 0 & -i i & 0 ) O3=(cc 1 & 0 0 & -1 )
a) Calcule todos os comutadores entre eles. Explique as implicações dos resultados obtidos.
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c)Imagine que a constante de Planck valesse 1 Js ao invés do seu valor real. Avalie nosso mundo macroscópico em termos do principio da incerteza nessa situação. (resposta de no máximo meia pagina)