Dados três operadores representados na sua forma matricial:
l O1=(ll 0 & 1 1 & 0 ) O2=(cc 0 & -i i & 0 ) O3=(cc 1 & 0 0 & -1 )
a) Calcule todos os comutadores entre eles. Explique as implicações dos resultados obtidos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três operadores representados por matrizes , e . O objetivo é calcular todos os comutadores entre eles. A matéria envolvida aqui é a teoria de operadores em mecânica quântica, especialmente o conceito de comutadores. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e aplicar a definição de comutador.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um comutador. Para dois operadores [A, B] = AB - BA e , o comutador é definido por:
Se o comutador for igual a zero, isso significa que os operadores e comutam, ou seja, eles podem ser medidos simultaneamente sem interferência.

Passo 3

Vamos calcular o comutador entre O1 O2 = 0 & 1 1 & 0 0 & -i i & 0 = (0)(0) + (1)(i) & (0)(-i) + (1)(0) (1)(0) + (0)(i) & (1)(-i) + (0)(0) = i & 0 0 & -i e O2 O1 = 0 & -i i & 0 0 & 1 1 & 0 = (0)(0) + (-i)(1) & (0)(1) + (-i)(0) (i)(0) + (0)(1) & (i)(1) + (0)(0) = -i & 0 0 & i .
Primeiro, multiplicamos [O1, O2] = O1 O2 - O2 O1 = i & 0 0 & -i - -i & 0 0 & i = 2i & 0 0 & -2i por :
Agora, multiplicamos por :
Agora, calculamos o comutador:

Passo 4

Agora, vamos calcular o comutador entre O1 O3 = 0 & 1 1 & 0 1 & 0 0 & -1 = (0)(1) + (1)(0) & (0)(0) + (1)(-1) (1)(1) + (0)(0) & (1)(0) + (0)(-1) = 0 & -1 1 & 0 e O3 O1 = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0 = (1)(0) + (0)(1) & (1)(1) + (0)(0) (0)(0) + (-1)(1) & (0)(1) + (-1)(0) = 0 & 1 -1 & 0 .
Primeiro, [O1, O3] = O1 O3 - O3 O1 = 0 & -1 1 & 0 - 0 & 1 -1 & 0 = 0 & -2 2 & 0 :
Segundo, :
Calculando o comutador:

Passo 5

Por fim, vamos calcular o comutador entre O2 O3 = 0 & -i i & 0 1 & 0 0 & -1 = (0)(1) + (-i)(0) & (0)(0) + (-i)(-1) (i)(1) + (0)(0) & (i)(0) + (0)(-1) = 0 & i i & 0 e O3 O2 = 1 & 0 0 & -1 0 & -i i & 0 = (1)(0) + (0)(i) & (1)(-i) + (0)(0) (0)(0) + (-1)(i) & (0)(-i) + (-1)(0) = 0 & -i -i & 0 .
Primeiro, [O2, O3] = O2 O3 - O3 O2 = 0 & i i & 0 - 0 & -i -i & 0 = 0 & 2i 2i & 0 :
Segundo, :
Calculando o comutador:

Resposta

Os comutadores calculados são:
[O1, O2] = 2i & 0 0 & -2i , [O1, O3] = 0 & -2 2 & 0 , [O2, O3] = 0 & 2i 2i & 0
Implicações dos resultados:
Como todos os comutadores são diferentes de zero, isso indica que os operadores , e não comutam entre si. Na prática, isso significa que não podemos medir simultaneamente as grandezas físicas associadas a esses operadores com precisão total. Esse tipo de relação é fundamental na mecânica quântica, refletindo a incerteza inerente nas medições de grandezas conjugadas.

Exercícios relacionados

Considere as seguintes afirmações
(i) Autoestados de energia são os únicos estados permitidos.
(ii) Autovalores de energia são as únicas energias permitidas.
As duas estão corretas ? Duas incorretas? So uma correta? Explique
Dados três operadores representados na sua forma matricial:
l O1=(ll 0 & 1 1 & 0 ) O2=(cc 0 & -i i & 0 ) O3=(cc 1 & 0 0 & -1 )
b) Calculo autofunções normalizadas e autovalores de cada um destes operadores.
b) Uma partícula de massa m se move em uma dimensão sob a ação de um potencial
V(x)=F0|x|
Use o principio da incerteza para estimar a mínima energia total da partícula (cinética mais potencial) em função de m, F0 e h.
Tomando V0 infty temos o chamado poço de potencial infinito, que representa (bem) aproximadamente a situação de um elétron livre (a) Obtenha os autoestados (normalizados) e autovalores possíveis para um elétron no poço infinito (x entre 0 e a ).