(b) Pinte a região vertical
Calcule a área de tal região vertical , caso exista (isto é, caso a região seja finita).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para pintarmos uma região vertical chamada , definida pelas coordenadas onde e . Nosso objetivo é calcular a área dessa região , caso ela seja finita. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, que ajudam a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa região representa. Imagine o eixo variando de a . Para cada valor de nesse intervalo, varia de até . Isso significa que a função define o limite superior da região em cada ponto .

Passo 3

Para calcular a área dessa região, usamos a integral definida. A integral nos permite acumular pequenas fatias de área ao longo do intervalo de . A fórmula geral para a área sob uma curva entre e é:
Á

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, temos que e . Portanto, a área da região será:
Á

Resposta

A área da região é dada por:
Á

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Demonstre, usando a Definição 1 , que
Determinar.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique cada resposta. Qualquer sequência que satisfaça , para todo , é tal que
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.