Demonstre, usando a Definição 1 , que
lim (x, y)=(a, b) c=c

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o limite de uma constante quando se aproxima de é igual a . O conteúdo aqui é sobre limites de funções constantes em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite (Definição 1), que basicamente diz que, para qualquer número pequeno que a gente escolher (chamado de ), existe um raio tal que se estiver dentro desse raio de , então o valor da função estará dentro de de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
lim (x, y) to (a, b) f(x, y) = L
se, para todo , existir um tal que sempre que , então .

Passo 3

No nosso caso, a função é constante, ou seja, lim (x, y) to (a, b) c = c para qualquer |c - c| < epsilon . E queremos mostrar que:
Então, substituindo na definição, precisamos provar que:

Passo 4

Vamos calcular |c - c| = |0| = 0 :
E sabemos que para qualquer .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar um que funcione. Como a função é constante, não importa o valor de , o resultado será sempre . Então, podemos escolher qualquer . Por conveniência, vamos deixar como um número positivo qualquer.

Passo 6

Então, para todo |f(x, y) - c| = 0 < epsilon , se escolhermos qualquer , sempre teremos:
independentemente de estar perto de ou não.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
lim (x, y) to (a, b) c = c

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