Demonstre, usando a Definição 1 , que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o limite de uma constante
quando
se aproxima de
é igual a
. O conteúdo aqui é sobre limites de funções constantes em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite (Definição 1), que basicamente diz que, para qualquer número pequeno que a gente escolher (chamado de
), existe um raio
tal que se
estiver dentro desse raio de
, então o valor da função estará dentro de
de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
se, para todo
, existir um
tal que sempre que
, então
.
Passo 3
No nosso caso, a função é constante, ou seja,
para qualquer
. E queremos mostrar que:
Então, substituindo na definição, precisamos provar que:
Passo 4
Vamos calcular
:
E sabemos que
para qualquer
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar um
que funcione. Como a função é constante, não importa o valor de
, o resultado será sempre
. Então, podemos escolher qualquer
. Por conveniência, vamos deixar
como um número positivo qualquer.
Passo 6
Então, para todo
, se escolhermos qualquer
, sempre teremos:
independentemente de
estar perto de
ou não.
Resposta
Portanto, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Determinar.
Determinar.
(b) Pinte a região vertical
Calcule a área de tal região vertical
, caso exista (isto é, caso a região seja finita).
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique cada resposta. Qualquer sequência que satisfaça
, para todo
, é tal que