Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique cada resposta. Qualquer sequência que satisfaça
, para todo
, é tal que
Passo 1
Vamos lá! O enunciado está nos pedindo para verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: "Qualquer sequência que satisfaça
para todo
, é tal que
". Estamos lidando com o conceito de limites de sequências na matéria de Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
para todo
. Isso quer dizer que todos os termos da sequência são positivos. Agora, o que estamos questionando é se isso implica que o limite dessa sequência quando
tende ao infinito não é igual a zero.
Passo 3
Vamos pensar em uma sequência que satisfaz
para todo
. Por exemplo, considere a sequência
. Aqui, cada termo é positivo porque
para todo
.
Passo 4
Agora, calculamos o limite dessa sequência quando
tende ao infinito:
Então, apesar de todos os termos serem positivos, o limite da sequência é igual a zero.
Passo 5
Isso mostra que existe pelo menos uma sequência que satisfaz
para todo
, mas cujo limite é zero. Portanto, a afirmação de que “qualquer sequência positiva tem limite diferente de zero” é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Existem sequências com
para todo
cujo limite é zero.
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(b) Pinte a região vertical
Calcule a área de tal região vertical
, caso exista (isto é, caso a região seja finita).
Demonstre, usando a Definição 1 , que
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Calcule os limites: