Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique cada resposta. Qualquer sequência que satisfaça , para todo , é tal que

Passo 1

Vamos lá! O enunciado está nos pedindo para verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: "Qualquer sequência que satisfaça para todo , é tal que ". Estamos lidando com o conceito de limites de sequências na matéria de Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que para todo . Isso quer dizer que todos os termos da sequência são positivos. Agora, o que estamos questionando é se isso implica que o limite dessa sequência quando tende ao infinito não é igual a zero.

Passo 3

Vamos pensar em uma sequência que satisfaz para todo . Por exemplo, considere a sequência . Aqui, cada termo é positivo porque para todo .

Passo 4

Agora, calculamos o limite dessa sequência quando tende ao infinito:
Então, apesar de todos os termos serem positivos, o limite da sequência é igual a zero.

Passo 5

Isso mostra que existe pelo menos uma sequência que satisfaz para todo , mas cujo limite é zero. Portanto, a afirmação de que “qualquer sequência positiva tem limite diferente de zero” é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Existem sequências com para todo cujo limite é zero.

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(b) Pinte a região vertical
Calcule a área de tal região vertical , caso exista (isto é, caso a região seja finita).
Demonstre, usando a Definição 1 , que
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Calcule os limites: