Determinar.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular o limite quando η tende ao infinito da expressão . Isso envolve o conteúdo de limites e funções racionais. Para resolver, vamos precisar manipular frações e entender como os termos se comportam quando η fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as duas frações para facilitar:
A ideia é simplificar cada uma delas para ver como elas se comportam quando η cresce sem limite.

Passo 3

Observa que, para grandes valores de η, o termo “-1” e “+1” nos denominadores se tornam insignificantes comparados a “2η”. Então, podemos aproximar:

Passo 4

Agora, substituindo essas aproximações na expressão original:
Parece que o limite seria zero, mas precisamos refinar nossa análise para termos mais precisão.

Passo 5

Vamos então manipular a expressão original:
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
Dividindo numerador e denominador por η²:

Passo 7

Agora, quando η tende ao infinito, o termo tende a zero. Então, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determinar.
Calcule os limites:
Demonstre, usando a Definição 1 , que
(b) Pinte a região vertical
Calcule a área de tal região vertical , caso exista (isto é, caso a região seja finita).