Determinar.
lim eta +infty(eta^22 eta-1-eta^22 eta+1)

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular o limite quando η tende ao infinito da expressão (eta^22 eta-1-eta^22 eta+1). Isso envolve o conteúdo de limites e funções racionais. Para resolver, vamos precisar manipular frações e entender como os termos se comportam quando η fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as duas frações para facilitar:
eta^22 eta - 1 e eta^22 eta + 1
A ideia é simplificar cada uma delas para ver como elas se comportam quando η cresce sem limite.

Passo 3

Observa que, para grandes valores de η, o termo “-1” e “+1” nos denominadores se tornam insignificantes comparados a “2η”. Então, podemos aproximar:
eta^22 eta - 1 approx eta^22 eta = eta2
eta^22 eta + 1 approx eta^22 eta = eta2

Passo 4

Agora, substituindo essas aproximações na expressão original:
eta2 - eta2 = 0
Parece que o limite seria zero, mas precisamos refinar nossa análise para termos mais precisão.

Passo 5

Vamos então manipular a expressão original:
eta^22 eta - 1 - eta^22 eta + 1 = eta^2 ( 12 eta - 1 - 12 eta + 1 )
Simplificando dentro dos parênteses:
12 eta - 1 - 12 eta + 1 = (2 eta + 1) - (2 eta - 1)(2 eta - 1)(2 eta + 1) = 24 eta^2 - 1

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
eta^2 cdot 24 eta^2 - 1 = 2 eta^24 eta^2 - 1
Dividindo numerador e denominador por η²:
24 - 1eta^2

Passo 7

Agora, quando η tende ao infinito, o termo 1eta^2 tende a zero. Então, a expressão simplifica para:
24 - 0 = 24 = 12

Resposta

O limite é 12.

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