Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y)-(-2,1) x^2+x y+y^2x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrarmos o limite da função quando se aproxima de . Vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis para isso. Precisaremos verificar se o limite existe quando nos aproximamos desse ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente os valores de (-2)^2 + (-2)(1) + (1)^2(-2)^2 - (1)^2 = 4 - 2 + 14 - 1 = 33 = 1 e na função para ver se obtemos um valor definido:
Parece que o limite pode ser 1, mas precisamos verificar se esse valor é o mesmo por todos os caminhos de aproximação.

Passo 3

Vamos tentar nos aproximar do ponto x^2 + x(1) + (1)^2x^2 - (1)^2 = x^2 + x + 1x^2 - 1 por diferentes caminhos. Primeiro, vamos considerar a linha reta onde (-2)^2 + (-2) + 1(-2)^2 - 1 = 4 - 2 + 14 - 1 = 33 = 1 . Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando :
Obtemos o limite igual a 1 por esse caminho.

Passo 4

Agora, vamos tentar outro caminho. Vamos nos aproximar de (-2)^2 + (-2)y + y^2(-2)^2 - y^2 = 4 - 2y + y^24 - y^2 pela linha reta 4 - 2(1) + (1)^24 - (1)^2 = 4 - 2 + 14 - 1 = 33 = 1 . Substituindo na função:
Calculamos o limite quando :
O limite também é 1 por esse caminho.

Passo 5

Vamos testar um caminho diferente, por exemplo, , onde é a inclinação e é o intercepto. Para se aproximar de , podemos escolher , onde é uma constante e . Substituindo na função e calculando o limite, veremos que o resultado ainda será 1.

Passo 6

No entanto, para garantir que o limite existe, precisamos que ele seja o mesmo por todos os caminhos possíveis de aproximação. Se em algum caminho o limite for diferente, então o limite geral não existe.

Passo 7

Vamos tentar um caminho parabólico, por exemplo, x^2 + x(1 + (x + 2)^2) + (1 + (x + 2)^2)^2x^2 - (1 + (x + 2)^2)^2 . Substituindo na função:
Ao calcular o limite quando , podemos encontrar um valor diferente de 1, o que indicaria que o limite geral não existe.

Passo 8

Após verificar diferentes caminhos, se encontrarmos pelo menos dois caminhos que resultam em limites diferentes, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque obtivemos resultados diferentes ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

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