Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrarmos o limite da função
quando
se aproxima de
. Vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis para isso. Precisaremos verificar se o limite existe quando nos aproximamos desse ponto por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir diretamente os valores de
e
na função para ver se obtemos um valor definido:
Parece que o limite pode ser 1, mas precisamos verificar se esse valor é o mesmo por todos os caminhos de aproximação.
Passo 3
Vamos tentar nos aproximar do ponto
por diferentes caminhos. Primeiro, vamos considerar a linha reta onde
. Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
:
Obtemos o limite igual a 1 por esse caminho.
Passo 4
Agora, vamos tentar outro caminho. Vamos nos aproximar de
pela linha reta
. Substituindo
na função:
Calculamos o limite quando
:
O limite também é 1 por esse caminho.
Passo 5
Vamos testar um caminho diferente, por exemplo,
, onde
é a inclinação e
é o intercepto. Para se aproximar de
, podemos escolher
, onde
é uma constante e
. Substituindo na função e calculando o limite, veremos que o resultado ainda será 1.
Passo 6
No entanto, para garantir que o limite existe, precisamos que ele seja o mesmo por todos os caminhos possíveis de aproximação. Se em algum caminho o limite for diferente, então o limite geral não existe.
Passo 7
Vamos tentar um caminho parabólico, por exemplo,
. Substituindo na função:
Ao calcular o limite quando
, podemos encontrar um valor diferente de 1, o que indicaria que o limite geral não existe.
Passo 8
Após verificar diferentes caminhos, se encontrarmos pelo menos dois caminhos que resultam em limites diferentes, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe porque obtivemos resultados diferentes ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.