(b) (1,0 ponto) Determine as coordenadas do ponto C tal que A C=u-2 B A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas do ponto de forma que o vetor de até , que é , seja igual a . Então, estamos trabalhando com vetores no plano cartesiano e vamos precisar manipular essas expressões vetoriais para achar as coordenadas de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor AC = C - A representa a direção e a magnitude do ponto até o ponto . Matematicamente, podemos expressar isso como:
onde e são os vetores posição dos pontos e , respectivamente.

Passo 3

Da mesma forma, o vetor BA = A - B vai de C - A = u - 2(A - B) até , então:
Agora, substituindo essas expressões na equação original , temos:

Passo 4

Vamos simplificar a equação. Expandindo o lado direito:
C - A = u - 2A + 2B
Agora, resolvemos para C = A + u - 2A + 2B adicionando C = -A + 2B + u em ambos os lados:
Simplificando os termos:

Resposta

As coordenadas do ponto C = -A + 2B + u são dadas por:

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