Problema 1.22 Seja o triângulo retângulo cujos vértices são os pontos e . Mostre que o ponto médio da hipotenusa é equidistante de cada um dos três vértices.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um triângulo retângulo com vértices nos pontos , e . Queremos mostrar que o ponto médio da hipotenusa é equidistante de cada um dos três vértices. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como coordenadas de pontos, cálculo de distâncias entre pontos e determinação do ponto médio de um segmento.

Passo 2

Primeiro, identificamos qual é a hipotenusa do triângulo. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. Aqui, o ângulo reto está no ponto , então a hipotenusa é o segmento que liga os pontos e .

Passo 3

Vamos encontrar as coordenadas do ponto médio da hipotenusa. A fórmula para encontrar o ponto médio de um segmento que liga dois pontos e é:
Aplicando isso aos pontos e :

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância do ponto médio a cada um dos vértices , e . A fórmula da distância entre dois pontos e é:

Passo 5

Calculando a distância de a :

Passo 6

Calculando a distância de a :

Passo 7

Calculando a distância de a :

Resposta

O ponto médio da hipotenusa, , está equidistante de cada um dos três vértices do triângulo retângulo, com distância igual a .

Exercícios relacionados

Sejam os vetores e
e) Escreva o vetor como combinação linear de e .
(b) (1,0 ponto) Determine as coordenadas do ponto tal que .
Sejam e . Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
f) O conjunto é LI.
Quando um conjunto de vetores é LD ou LI?