Problema 1.22 Seja o triângulo retângulo cujos vértices são os pontos A(0, b), B(a, 0) e C(0,0). Mostre que o ponto médio da hipotenusa é equidistante de cada um dos três vértices.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um triângulo retângulo com vértices nos pontos , e . Queremos mostrar que o ponto médio da hipotenusa é equidistante de cada um dos três vértices. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como coordenadas de pontos, cálculo de distâncias entre pontos e determinação do ponto médio de um segmento.

Passo 2

Primeiro, identificamos qual é a hipotenusa do triângulo. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. Aqui, o ângulo reto está no ponto , então a hipotenusa é o segmento que liga os pontos e .

Passo 3

Vamos encontrar as coordenadas do ponto médio da hipotenusa. A fórmula para encontrar o ponto médio M( x1 + x22, y1 + y22 ) de um segmento que liga dois pontos M( 0 + a2, b + 02 ) = ( a2, b2 ) e é:
Aplicando isso aos pontos e :

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância do ponto médio d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 a cada um dos vértices , e . A fórmula da distância entre dois pontos e é:

Passo 5

Calculando a distância de d(M, A) = raiz(0 - a2)^2 + (b - b2)^2 = raiz(-a2)^2 + (b2)^2 = raiza^24 + b^24 = raiza^2 + b^24 = raiza^2 + b^22 a :

Passo 6

Calculando a distância de d(M, B) = raiz(a - a2)^2 + (0 - b2)^2 = raiz(a2)^2 + (-b2)^2 = raiza^24 + b^24 = raiza^2 + b^22 a :

Passo 7

Calculando a distância de d(M, C) = raiz(0 - a2)^2 + (0 - b2)^2 = raiz(-a2)^2 + (-b2)^2 = raiza^24 + b^24 = raiza^2 + b^22 a :

Resposta

O ponto médio da hipotenusa, , está equidistante de cada um dos três vértices do triângulo retângulo, com distância igual a .

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