Problema 1.22 Seja o triângulo retângulo cujos vértices são os pontos e . Mostre que o ponto médio da hipotenusa é equidistante de cada um dos três vértices.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um triângulo retângulo com vértices nos pontos , e . Queremos mostrar que o ponto médio da hipotenusa é equidistante de cada um dos três vértices. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como coordenadas de pontos, cálculo de distâncias entre pontos e determinação do ponto médio de um segmento.
Passo 2
Primeiro, identificamos qual é a hipotenusa do triângulo. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. Aqui, o ângulo reto está no ponto , então a hipotenusa é o segmento que liga os pontos e .
Passo 3
Vamos encontrar as coordenadas do ponto médio da hipotenusa. A fórmula para encontrar o ponto médio de um segmento que liga dois pontos e é:
Aplicando isso aos pontos e :
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância do ponto médio a cada um dos vértices , e . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Passo 5
Calculando a distância de a :
Passo 6
Calculando a distância de a :
Passo 7
Calculando a distância de a :
Resposta
O ponto médio da hipotenusa, , está equidistante de cada um dos três vértices do triângulo retângulo, com distância igual a .