Sejam os vetores u=(1,0), v=(3,1) e w=(0,2)
e) Escreva o vetor y=(a, b) como combinação linear de u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver isso juntos! Queremos escrever o vetor y = (a, b) como uma combinação linear dos vetores u = (1, 0) e v = (3, 1). Isso faz parte da Álgebra Linear, onde combinamos vetores usando coeficientes para chegar a outro vetor. Vamos precisar descobrir quais números multiplicam u e v para obter y.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos achar dois números, vamos chamar de c e d, tais que:
y = c cdot u + d cdot v
Isso significa que estamos escalando u por c e v por d, e somando os resultados para chegar em y.

Passo 3

Vamos substituir os valores dos vetores na equação:
(a, b) = c cdot (1, 0) + d cdot (3, 1)
Agora, vamos fazer as multiplicações dos coeficientes pelos vetores.

Passo 4

Multiplicando c por u e d por v:
c cdot (1, 0) = (c, 0)
d cdot (3, 1) = (3d, d)
Agora, somamos esses resultados:
(a, b) = (c + 3d, 0 + d)

Passo 5

Isso nos dá um sistema de equações para resolver:
c + 3d = a d = b
A segunda equação já nos dá o valor de d diretamente.

Passo 6

Sabemos que d = b. Vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar c:
c + 3b = a
Isolando c:
c = a - 3b

Resposta

Portanto, o vetor y pode ser escrito como uma combinação linear de u e v da seguinte maneira:
y = (a - 3b) cdot u + b cdot v

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