Problema 1.19 Dados os pontos e , determine as coordenadas dos dois pontos que dividem o segmento de reta em três partes iguais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois pontos no plano, e , e precisamos encontrar as coordenadas de dois pontos que dividem o segmento de reta entre A e B em três partes iguais. Isso envolve um conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente a fórmula de divisão de um segmento de reta em uma determinada proporção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dividir um segmento de reta em três partes iguais. Queremos encontrar dois pontos, vamos chamar de e , de modo que . Isso significa que o segmento AB será dividido na razão 1:1:1.

Passo 3

Para resolver isso, vamos utilizar a fórmula do ponto que divide um segmento em uma certa proporção. Se tivermos um segmento com pontos A e B , o ponto que divide o segmento AB na razão tem as coordenadas:

Passo 4

No nosso caso, queremos dividir o segmento AB em três partes iguais, ou seja, temos duas divisões:
  1. O primeiro ponto divide AB na razão 1:2.
  2. O segundo ponto divide AB na razão 2:1.
Vamos calcular as coordenadas de e usando a fórmula.

Passo 5

Calculando o ponto (razão 1:2):
Substituindo os valores de A e B:

Passo 6

Calculando o ponto (razão 2:1):
Substituindo os valores de A e B:

Resposta

As coordenadas dos dois pontos que dividem o segmento de reta em três partes iguais são e .

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