Problema 1.19 Dados os pontos A(2,3) e B(5,1), determine as coordenadas dos dois pontos que dividem o segmento de reta A B em três partes iguais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois pontos no plano, e , e precisamos encontrar as coordenadas de dois pontos que dividem o segmento de reta entre A e B em três partes iguais. Isso envolve um conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente a fórmula de divisão de um segmento de reta em uma determinada proporção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dividir um segmento de reta em três partes iguais. Queremos encontrar dois pontos, vamos chamar de e , de modo que . Isso significa que o segmento AB será dividido na razão 1:1:1.

Passo 3

Para resolver isso, vamos utilizar a fórmula do ponto que divide um segmento em uma certa proporção. Se tivermos um segmento com pontos A P( n cdot xA + m cdot xBm + n, n cdot yA + m cdot yBm + n ) e B , o ponto que divide o segmento AB na razão tem as coordenadas:

Passo 4

No nosso caso, queremos dividir o segmento AB em três partes iguais, ou seja, temos duas divisões:
  1. O primeiro ponto divide AB na razão 1:2.
  2. O segundo ponto divide AB na razão 2:1.
Vamos calcular as coordenadas de e usando a fórmula.

Passo 5

Calculando o ponto C( 2 cdot xA + 1 cdot xB1 + 2, 2 cdot yA + 1 cdot yB1 + 2 ) (razão 1:2):
C( 2 cdot 2 + 1 cdot 53, 2 cdot 3 + 1 cdot 13 ) = C( 4 + 53, 6 + 13 ) = C( 93, 73 ) = C(3, 73)
Substituindo os valores de A e B:

Passo 6

Calculando o ponto D( 1 cdot xA + 2 cdot xB2 + 1, 1 cdot yA + 2 cdot yB2 + 1 ) (razão 2:1):
D( 1 cdot 2 + 2 cdot 53, 1 cdot 3 + 2 cdot 13 ) = D( 2 + 103, 3 + 23 ) = D( 123, 53 ) = D(4, 53)
Substituindo os valores de A e B:

Resposta

As coordenadas dos dois pontos que dividem o segmento de reta em três partes iguais são e .

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