Problema 1.19 Dados os pontos e , determine as coordenadas dos dois pontos que dividem o segmento de reta em três partes iguais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois pontos no plano, e , e precisamos encontrar as coordenadas de dois pontos que dividem o segmento de reta entre A e B em três partes iguais. Isso envolve um conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente a fórmula de divisão de um segmento de reta em uma determinada proporção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dividir um segmento de reta em três partes iguais. Queremos encontrar dois pontos, vamos chamar de e , de modo que . Isso significa que o segmento AB será dividido na razão 1:1:1.
Passo 3
Para resolver isso, vamos utilizar a fórmula do ponto que divide um segmento em uma certa proporção. Se tivermos um segmento com pontos A P( n cdot xA + m cdot xBm + n, n cdot yA + m cdot yBm + n ) e B , o ponto que divide o segmento AB na razão tem as coordenadas:
Passo 4
No nosso caso, queremos dividir o segmento AB em três partes iguais, ou seja, temos duas divisões:
O primeiro ponto divide AB na razão 1:2.
O segundo ponto divide AB na razão 2:1.
Vamos calcular as coordenadas de e usando a fórmula.
Passo 5
Calculando o ponto C( 2 cdot xA + 1 cdot xB1 + 2, 2 cdot yA + 1 cdot yB1 + 2 ) (razão 1:2):