b) É possível determinar uma base de que possua os vetores e ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer saber se dá pra montar uma base de que inclua os três vetores dados: , e . Para resolver isso, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, então conseguimos completar uma base de adicionando mais dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar esses vetores em uma matriz e ver se o determinante dessa matriz é diferente de zero, o que indicaria que eles são independentes. Como estamos trabalhando em e temos apenas três vetores, vamos verificar o posto da matriz formada por esses vetores.

Passo 3

Vamos fazer operações elementares para simplificar a matriz:
  1. Trocar a primeira linha pela segunda:
  1. Adicionar a primeira linha à segunda:
  1. Adicionar 5 vezes a primeira linha à terceira:
  1. Subtrair 2 vezes a segunda linha da terceira:

Passo 4

A última linha ficou toda de zeros, o que significa que o posto da matriz é 2. Isso indica que os três vetores são linearmente dependentes. Ou seja, não há três vetores independentes nesse conjunto.

Resposta

Não, não é possível determinar uma base de que contenha os vetores , e , pois eles são linearmente dependentes.

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b) .