Considere o subespaço de R^4 gerado pelos vetores u1=(1,-1,0,0), u2=(0,0,1,1), u3=(-2,2,1,1) e u4=(1,0,0,0).
Exiba uma base para [u1, u2, u3, u4]. Qual é a dimensão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para a gente encontrar uma base para o subespaço de R^4 que é gerado pelos vetores u1, u2, u3 e u4. Além disso, também vamos descobrir qual é a dimensão desse subespaço. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases e dimensão em álgebra linear, além de saber como verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com os vetores dados como colunas. Isso vai nos ajudar a visualizar melhor e aplicar o método de escalonamento para encontrar quais vetores são essenciais para formar a base.
A matriz fica assim:
A = 1 & 0 & -2 & 1 -1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linhas para transformar essa matriz em uma forma mais simples, conhecida como Escalonamento de Gauss. O objetivo é chegar a uma forma onde possamos identificar facilmente quais colunas têm pivôs (elementos principais), que correspondem aos vetores que vão compor a base.
Primeiro, vamos trocar a segunda linha pela primeira para facilitar:
A = -1 & 0 & 2 & 0 1 & 0 & -2 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0

Passo 4

Em seguida, vamos adicionar a primeira linha à segunda linha para eliminar o 1 na posição (2,1):
A = -1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0

Passo 5

Agora, vamos focar nas linhas abaixo da segunda. Note que a terceira e a quarta linhas são iguais. Podemos subtrair a terceira linha da quarta para zerar:
A = -1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 6

Observando a matriz resultante, vemos que temos três pivôs: um na primeira coluna da primeira linha, outro na quarta coluna da segunda linha e um terceiro na segunda coluna da terceira linha. Isso indica que os vetores correspondentes a essas colunas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para o subespaço gerado.

Passo 7

Então, os vetores correspondentes às colunas com pivôs são:
u1 = (1, -1, 0, 0), u4 = (1, 0, 0, 0), u2 = (0, 0, 1, 1)
Esses três vetores são suficientes para formar uma base.

Resposta

Uma base para o subespaço é composta pelos vetores u1 = (1, -1, 0, 0), u2 = (0, 0, 1, 1) e u4 = (1, 0, 0, 0). A dimensão desse subespaço é 3.

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