Considere o subespaço de gerado pelos vetores e .
Exiba uma base para . Qual é a dimensão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para a gente encontrar uma base para o subespaço de que é gerado pelos vetores e . Além disso, também vamos descobrir qual é a dimensão desse subespaço. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases e dimensão em álgebra linear, além de saber como verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz com os vetores dados como colunas. Isso vai nos ajudar a visualizar melhor e aplicar o método de escalonamento para encontrar quais vetores são essenciais para formar a base.
A matriz fica assim:
Passo 3
Agora, vamos realizar operações de linhas para transformar essa matriz em uma forma mais simples, conhecida como Escalonamento de Gauss. O objetivo é chegar a uma forma onde possamos identificar facilmente quais colunas têm pivôs (elementos principais), que correspondem aos vetores que vão compor a base.
Primeiro, vamos trocar a segunda linha pela primeira para facilitar:
Passo 4
Em seguida, vamos adicionar a primeira linha à segunda linha para eliminar o 1 na posição (2,1):
Passo 5
Agora, vamos focar nas linhas abaixo da segunda. Note que a terceira e a quarta linhas são iguais. Podemos subtrair a terceira linha da quarta para zerar:
Passo 6
Observando a matriz resultante, vemos que temos três pivôs: um na primeira coluna da primeira linha, outro na quarta coluna da segunda linha e um terceiro na segunda coluna da terceira linha. Isso indica que os vetores correspondentes a essas colunas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para o subespaço gerado.
Passo 7
Então, os vetores correspondentes às colunas com pivôs são:
Esses três vetores são suficientes para formar uma base.
Resposta
Uma base para o subespaço é composta pelos vetores , e . A dimensão desse subespaço é .