Mostre que o conjunto de todas as funções f:(-4,4) R que são diferenciáveis sobre (-4,4) e que satisfazem f^prime(-1)=3 f(2) é um subespaço de V=f:(-4,4) R ; f é uma função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que um certo conjunto de funções é um subespaço de um espaço vetorial maior. Especificamente, estamos trabalhando com funções diferenciáveis de (-4,4) para R que obedecem à condição f'(-1)=3f(2). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz as três propriedades necessárias: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém a função zero. A função zero é aquela que, para todo x em (-4,4), f(x) = 0. Vamos ver se ela satisfaz a condição f'(-1)=3f(2).
Como f(x) = 0, então f'(x) = 0 para todo x. Assim, f'(-1) = 0 e 3f(2) = 3 times 0 = 0. Portanto, 0 = 0, o que significa que a função zero está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas funções f e g que estão no conjunto, a função f + g também deve estar no conjunto.
Sabemos que f'(-1) = 3f(2) e g'(-1) = 3g(2). Vamos calcular (f + g)'(-1):
(f + g)'(-1) = f'(-1) + g'(-1) = 3f(2) + 3g(2) = 3(f(2) + g(2)).
Por outro lado, 3(f + g)(2) = 3(f(2) + g(2)). Como vimos, (f + g)'(-1) = 3(f + g)(2), então f + g também satisfaz a condição e está no conjunto.

Passo 4

Por fim, vamos ver se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se f está no conjunto e c é um número real, então c cdot f também deve estar no conjunto.
Sabemos que f'(-1) = 3f(2). Vamos calcular (c cdot f)'(-1):
(c cdot f)'(-1) = c cdot f'(-1) = c cdot 3f(2) = 3(c cdot f(2)).
Por outro lado, 3(c cdot f)(2) = 3c cdot f(2). Assim, (c cdot f)'(-1) = 3(c cdot f)(2), o que significa que c cdot f também satisfaz a condição e está no conjunto.

Resposta

Concluímos que o conjunto de todas as funções diferenciáveis de (-4,4) para R que satisfazem f'(-1)=3f(2) é, de fato, um subespaço de V.

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