Mostre que o conjunto de todas as funções
que são diferenciáveis sobre
e que satisfazem
é um subespaço de
f é uma função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que um certo conjunto de funções é um subespaço de um espaço vetorial maior. Especificamente, estamos trabalhando com funções diferenciáveis de
para
que obedecem à condição
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz as três propriedades necessárias: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém a função zero. A função zero é aquela que, para todo
em
,
. Vamos ver se ela satisfaz a condição
.
Como
, então
para todo
. Assim,
e
. Portanto,
, o que significa que a função zero está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas funções
e
que estão no conjunto, a função
também deve estar no conjunto.
Sabemos que
e
. Vamos calcular
:
Por outro lado,
. Como vimos,
, então
também satisfaz a condição e está no conjunto.
Passo 4
Por fim, vamos ver se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se
está no conjunto e
é um número real, então
também deve estar no conjunto.
Sabemos que
. Vamos calcular
:
Por outro lado,
. Assim,
, o que significa que
também satisfaz a condição e está no conjunto.
Resposta
Concluímos que o conjunto de todas as funções diferenciáveis de
para
que satisfazem
é, de fato, um subespaço de
.