Mostre que o conjunto de todas as funções que são diferenciáveis sobre e que satisfazem é um subespaço de f é uma função .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que um certo conjunto de funções é um subespaço de um espaço vetorial maior. Especificamente, estamos trabalhando com funções diferenciáveis de para que obedecem à condição . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz as três propriedades necessárias: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém a função zero. A função zero é aquela que, para todo em , . Vamos ver se ela satisfaz a condição .
Como , então para todo . Assim, e . Portanto, , o que significa que a função zero está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas funções e que estão no conjunto, a função também deve estar no conjunto.
Sabemos que e . Vamos calcular :
.
Por outro lado, . Como vimos, , então também satisfaz a condição e está no conjunto.
Passo 4
Por fim, vamos ver se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se está no conjunto e é um número real, então também deve estar no conjunto.
Sabemos que . Vamos calcular :
.
Por outro lado, . Assim, , o que significa que também satisfaz a condição e está no conjunto.
Resposta
Concluímos que o conjunto de todas as funções diferenciáveis de para que satisfazem é, de fato, um subespaço de .