Determine todos os elementos minimais e todos os elementos maximais de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma relação definida em , onde significa que divide (ou seja, ) e divide (ou seja, ). Nosso objetivo é encontrar todos os elementos minimais e todos os elementos maximais desse conjunto . Para isso, vamos precisar entender o que são elementos minimais e maximais em uma relação de ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos clarificar o que são elementos minimais e elementos maximais numa relação de ordem parcial.
  • Elemento Minimal: Um elemento é minimal se não existe nenhum outro elemento tal que e . Ou seja, não tem nada “abaixo” dele na ordem.
  • Elemento Maximal: Um elemento é maximal se não existe nenhum outro elemento tal que e . Ou seja, não tem nada “acima” dele na ordem.

Passo 3

Vamos analisar agora a relação .
Isso significa que está “abaixo” de se ambos divide e divide .
Para encontrar elementos minimais, queremos aqueles para os quais não tem nada “abaixo” deles, ou seja, não existe nenhum outro par que divide ambos componentes. Já para elementos maximais, queremos aqueles para os quais não tem nada “acima” deles, ou seja, não existe nenhum outro par que seja múltiplo de ambos componentes.

Passo 4

Encontrando os Elementos Minimais:
Queremos pares tais que não haja nenhum outro par onde divide e divide , a não ser quando .
O menor número que divide qualquer número natural é . Então, se tivermos e , não existe nenhum par diferente que divide ambos. Portanto, é um elemento minimal.
Mas será que existem outros elementos minimais?
Se considerarmos como o conjunto dos números naturais, podemos verificar que e também podem ser minimais, dependendo dos outros valores. Porém, para que um par seja minimal, ambos os componentes precisam ser os menores possíveis, ou seja, .
Então, somente o par é realmente minimal, pois qualquer outro par com pelo menos um componente maior que pode ser dividido por .
Encontrando os Elementos Maximais:
Queremos pares tais que não exista nenhum outro par onde divide e divide , a não ser quando .
No entanto, se for infinito, como no caso dos números naturais, não há um “maior” número, ou seja, sempre podemos encontrar números maiores que e . Isso significa que não existem elementos maximais, pois sempre podemos encontrar um par com e que é maior na ordem definida.

Resposta

O único elemento minimal de é e não existem elementos maximais nesse conjunto.

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Encontre a derivada da função.
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