Verifique se os limites abaixo existem, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis quando o ponto
se aproxima de
. A gente vai precisar entender sobre limites multivariáveis e verificar se esse limite realmente existe.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando:
Aqui, temos uma fração onde o numerador é
e o denominador é a raiz quadrada de
. Esse denominador lembra a fórmula da distância entre dois pontos no plano, então ele está medindo a distância entre
e
.
Passo 3
Para verificar se esse limite existe, uma estratégia é calcular o limite ao se aproximar do ponto
por diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo valor em todos eles. Se os limites forem diferentes dependendo do caminho, então o limite geral não existe.
Passo 4
Vamos tentar primeiro aproximar por um caminho onde
. Isso significa que estamos nos movendo ao longo da linha horizontal onde
sempre é 1:
Aqui,
é o valor absoluto de
. Então, essa expressão simplifica para:
Isso significa que, dependendo de como
se aproxima de 1, o limite pode ser 1 ou -1.
Passo 5
Agora, vamos aproximar por outro caminho, digamos
. Isso nos move ao longo da linha vertical onde
sempre é 1:
Aqui, independentemente de como
se aproxima de 1, o numerador sempre será 0, então o limite é 0.
Passo 6
Comparando os dois caminhos que escolhemos:
- Ao se aproximar por
, o limite pode ser 1 ou -1, dependendo de . - Ao se aproximar por
, o limite é sempre 0.
Como obtemos resultados diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite não existe porque os valores obtidos dependem do caminho seguido para se aproximar de
.