Verifique se os limites abaixo existem, justificando sua resposta.
b) lim (x, y) (1,1) x-1raiz(x-1)^2+(y-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis quando o ponto se aproxima de . A gente vai precisar entender sobre limites multivariáveis e verificar se esse limite realmente existe.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando:
lim (x, y) (1,1) x-1raiz(x-1)^2+(y-1)^2
Aqui, temos uma fração onde o numerador é e o denominador é a raiz quadrada de . Esse denominador lembra a fórmula da distância entre dois pontos no plano, então ele está medindo a distância entre e .

Passo 3

Para verificar se esse limite existe, uma estratégia é calcular o limite ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo valor em todos eles. Se os limites forem diferentes dependendo do caminho, então o limite geral não existe.

Passo 4

Vamos tentar primeiro aproximar por um caminho onde lim (x, 1) (1,1) x-1raiz(x-1)^2+(1-1)^2 = lim x 1 x-1|x-1| . Isso significa que estamos nos movendo ao longo da linha horizontal onde x-1|x-1| = 1, & se x > 1 -1, & se x < 1 sempre é 1:
Aqui, é o valor absoluto de . Então, essa expressão simplifica para:
Isso significa que, dependendo de como se aproxima de 1, o limite pode ser 1 ou -1.

Passo 5

Agora, vamos aproximar por outro caminho, digamos lim (1, y) (1,1) 1-1raiz(1-1)^2+(y-1)^2 = lim y 1 0|y-1| = 0 . Isso nos move ao longo da linha vertical onde sempre é 1:
Aqui, independentemente de como se aproxima de 1, o numerador sempre será 0, então o limite é 0.

Passo 6

Comparando os dois caminhos que escolhemos:
  • Ao se aproximar por , o limite pode ser 1 ou -1, dependendo de .
  • Ao se aproximar por , o limite é sempre 0.
Como obtemos resultados diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe porque os valores obtidos dependem do caminho seguido para se aproximar de .

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