b. Prove que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar duas identidades trigonométricas. O conteúdo que vamos usar aqui são as fórmulas de ângulos duplos e meia-ângulo. Vamos precisar entender como essas fórmulas funcionam para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
. Sabemos que existe uma identidade de meia-ângulo que relaciona o cosseno com o seno. A gente pode usar a seguinte fórmula:
Passo 3
Agora, vamos arrumar essa fórmula para chegar na identidade que queremos provar. Se subtrairmos
de 1, fica:
Pronto! Essa é exatamente a primeira identidade que precisamos provar.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte: provar que
. Essa identidade também vem das fórmulas de ângulos duplos. Sabemos que:
Essa é uma fórmula padrão de seno para ângulos duplos, que relaciona o seno de um ângulo com os senos e cossenos dos seus meios-ângulos.
Passo 5
Não precisamos fazer mais rearranjos aqui, porque a identidade já está na forma que queríamos provar. Basta reconhecer que essa é uma das fórmulas de ângulos duplos que aprendemos.
Resposta
Portanto, mostramos que
e que
.
Exercícios relacionados
a. Prove que
e
.
As representações no Plano Complexo de
são vértices consecutivos de um quadrado. Se
e
, determine
e
sabendo que
.
c. Prove que as soluções complexas da equação
são dadas por
.
Seja
c. Prove que nunca é imaginário puro.
c. Prove que