b. Prove que 1-cos theta=2 sen^2 theta2 e sen theta=2 sen theta2 cos theta2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar duas identidades trigonométricas. O conteúdo que vamos usar aqui são as fórmulas de ângulos duplos e meia-ângulo. Vamos precisar entender como essas fórmulas funcionam para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que cos theta = 1 - 2 sin^2 theta2 . Sabemos que existe uma identidade de meia-ângulo que relaciona o cosseno com o seno. A gente pode usar a seguinte fórmula:

Passo 3

Agora, vamos arrumar essa fórmula para chegar na identidade que queremos provar. Se subtrairmos 1 - cos theta = 2 sin^2 theta2 de 1, fica:
Pronto! Essa é exatamente a primeira identidade que precisamos provar.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: provar que sin theta = 2 sin theta2 cos theta2 . Essa identidade também vem das fórmulas de ângulos duplos. Sabemos que:
Essa é uma fórmula padrão de seno para ângulos duplos, que relaciona o seno de um ângulo com os senos e cossenos dos seus meios-ângulos.

Passo 5

Não precisamos fazer mais rearranjos aqui, porque a identidade já está na forma que queríamos provar. Basta reconhecer que essa é uma das fórmulas de ângulos duplos que aprendemos.

Resposta

Portanto, mostramos que e que .

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