As representações no Plano Complexo de z1, z2, z3, z4 são vértices consecutivos de um quadrado. Se z1=1+2 i e z2=3+5 i, determine z3 e z4 sabendo que Im(z4)< Im(z1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no plano complexo que formam os vértices de um quadrado. Sabemos dois desses pontos: e . Nosso objetivo é encontrar os outros dois pontos, e , sabendo que a parte imaginária de é menor que a de . Para isso, vamos usar conceitos de geometria no plano complexo, como a rotação de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que os vértices de um quadrado podem ser obtidos a partir de um ponto inicial e aplicando rotações de 90 graus no sentido anti-horário. No plano complexo, rotacionar um número complexo em 90 graus corresponde a multiplicar por .

Passo 3

Vamos encontrar o vetor que vai de v = z2 - z1 = (3 + 5i) - (1 + 2i) = 2 + 3i para :
Esse vetor representa o lado do quadrado.

Passo 4

Para encontrar o próximo lado do quadrado, rotacionamos o vetor vrot = v times i = (2 + 3i) times i = 2i + 3i^2 = 2i - 3 = -3 + 2i em 90 graus:
Esse é o vetor que vai de para .

Passo 5

Agora, somamos z3 = z2 + vrot = (3 + 5i) + (-3 + 2i) = 0 + 7i = 7i a para encontrar :

Passo 6

Para encontrar vrot2 = vrot times i = (-3 + 2i) times i = -3i + 2i^2 = -3i - 2 = -2 - 3i , precisamos rotacionar novamente o vetor original para voltar ao ponto inicial. Ou seja, rotacionamos em 90 graus:
Esse é o vetor que vai de para .

Passo 7

Somamos z4 = z3 + vrot2 = 7i + (-2 - 3i) = -2 + 4i a para encontrar :

Resposta

Os pontos são e .

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As representações geométricas de z1, z2 e z3 no Plano Complexo são vértices de um triângulo equilátero com centro na origem. Se z1=1+i, determine z2 e z3.
Se theta é um ângulo do 3^o quadrante e sen theta=-45, calcule cos 5 theta e sen 5 theta.
a. Prove que cos 2 theta=2 cos ^2 theta-1=1-2 sen^2 theta e sen 2 theta=2 sen theta cos theta.
b. Prove que 1-cos theta=2 sen^2 theta2 e sen theta=2 sen theta2 cos theta2.