As representações no Plano Complexo de
são vértices consecutivos de um quadrado. Se
e
, determine
e
sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no plano complexo que formam os vértices de um quadrado. Sabemos dois desses pontos:
e
. Nosso objetivo é encontrar os outros dois pontos,
e
, sabendo que a parte imaginária de
é menor que a de
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria no plano complexo, como a rotação de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que os vértices de um quadrado podem ser obtidos a partir de um ponto inicial e aplicando rotações de 90 graus no sentido anti-horário. No plano complexo, rotacionar um número complexo
em 90 graus corresponde a multiplicar
por
.
Passo 3
Vamos encontrar o vetor que vai de
para
:
Esse vetor representa o lado do quadrado.
Passo 4
Para encontrar o próximo lado do quadrado, rotacionamos o vetor
em 90 graus:
Esse é o vetor que vai de
para
.
Passo 5
Agora, somamos
a
para encontrar
:
Passo 6
Para encontrar
, precisamos rotacionar novamente o vetor original
para voltar ao ponto inicial. Ou seja, rotacionamos
em 90 graus:
Esse é o vetor que vai de
para
.
Passo 7
Somamos
a
para encontrar
:
Resposta
Os pontos são
e
.
Exercícios relacionados
As representações geométricas de
e
no Plano Complexo são vértices de um triângulo equilátero com centro na origem.
, determine
e
.
Se
é um ângulo do
quadrante e
, calcule
e
.
a. Prove que
e
.
b. Prove que
e
.