Seja z=4(cos 5 pi21+i sen 5 pi21)
c. Prove que z^n nunca é imaginário puro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um número complexo . O objetivo é provar que, para qualquer inteiro , a potência nunca é puramente imaginária. Vamos precisar usar conceitos de números complexos, especialmente a forma polar e a multiplicação de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma polar de um número complexo. Qualquer número complexo pode ser escrito como , onde é o módulo e é o argumento. No nosso caso, e .

Passo 3

Quando elevamos z^n = r^n ( cos(ntheta) + i sin(ntheta) ) a uma potência z^n = 4^n ( cos( n cdot 5pi21 ) + i sin( n cdot 5pi21 ) ) , usamos a fórmula de De Moivre:
Então, para nosso :

Passo 4

Queremos que cos( n cdot 5pi21 ) = 0 seja puramente imaginário. Isso significa que a parte real deve ser zero. Então, precisamos que:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação n cdot 5pi21 = pi2 + kpi para algum inteiro k . Sabemos que o cosseno é zero em:
n cdot 521 = 12 + k Rightarrow n = 215 ( 12 + k )
Simplificando:

Passo 6

Observamos que precisa ser um número inteiro. No entanto, não é inteiro para nenhum valor inteiro de , porque , que não é inteiro.

Passo 7

Como não existe nenhum inteiro que satisfaça a condição , concluímos que nunca é puramente imaginário para qualquer inteiro.

Resposta

Portanto, nunca é imaginário puro para qualquer valor inteiro de .

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