Seja
c. Prove que
nunca é imaginário puro.
c. Prove que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um número complexo
. O objetivo é provar que, para qualquer inteiro
, a potência
nunca é puramente imaginária. Vamos precisar usar conceitos de números complexos, especialmente a forma polar e a multiplicação de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a forma polar de um número complexo. Qualquer número complexo pode ser escrito como
, onde
é o módulo e
é o argumento. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Quando elevamos
a uma potência
, usamos a fórmula de De Moivre:
Então, para nosso
:
Passo 4
Queremos que
seja puramente imaginário. Isso significa que a parte real deve ser zero. Então, precisamos que:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação
. Sabemos que o cosseno é zero em:
Simplificando:
Passo 6
Observamos que
precisa ser um número inteiro. No entanto,
não é inteiro para nenhum valor inteiro de
, porque
, que não é inteiro.
Passo 7
Como não existe nenhum inteiro
que satisfaça a condição
, concluímos que
nunca é puramente imaginário para qualquer
inteiro.
Resposta
Portanto,
nunca é imaginário puro para qualquer valor inteiro de
.
Exercícios relacionados
c. Prove que as soluções complexas da equação
são dadas por
.
b. Prove que
e
.
Resolva a equação
.
A uma temperatura absoluta
a aresta de um cubo é igual a
. A densidade desse cubo é igual a
e o material de que ele é feito tem um coeficiente de dilatação volumétrica
. Quando a temperatura aumentar
calcule a nova densidade
do cubo, em função de
e
.