c. Prove que as soluções complexas da equação
são dadas por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa provar que as soluções complexas dessa equação são dadas por
Vamos trabalhar com números complexos e explorar propriedades das raízes da unidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação original:
Isso nos diz que
elevado a
é igual a
elevado a
. Dividindo ambos os lados por
(assumindo que
), temos:
Simplificando a fração dentro do parênteses:
Passo 3
A equação
nos diz que
é uma número complexo que, quando elevado a
, dá 1. Sabemos que os números complexos que satisfazem
são as raízes da unidade. Então, podemos escrever:
onde
são as raízes da unidade, dadas por:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Então, as soluções são dadas por:
(Não incluímos
porque isso daria
infinito, o que não é uma solução válida.)
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de seno e cosseno para simplificar a expressão de
. Sabemos que:
Então,
Passo 6
Vamos simplificar
usando identidades trigonométricas. Usando a fórmula para o seno do ângulo reduzido:
Aplicando isso com
:
Então,
Passo 7
Agora, voltando à expressão de
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 8
Para simplificar a expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
No denominador, usamos a identidade
:
Como
:
Passo 9
Simplificando mais, dividindo cada termo no numerador por
:
Usando a identidade trigonométrica
:
Passo 10
Para combinar os termos, podemos escrever:
Reescrevendo isso de forma a combinar os termos em uma única expressão complexa:
Aqui, usamos a identidade
.
Resposta
As soluções complexas da equação
são dadas por
Exercícios relacionados
b. Prove que
e
.
a. Prove que
e
.
Seja
c. Prove que nunca é imaginário puro.
c. Prove que
Resolva a equação
.