c. Prove que as soluções complexas da equação (z-1)^n-z^n=0 são dadas por
zk=i2 cossec k pin(cos k pin-i sen k pin), k=1, ldots, n-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação (z-1)^n - z^n = 0 e precisa provar que as soluções complexas dessa equação são dadas por
zk = i2 csc(kpin) (cos(kpin) - i sin(kpin)), k = 1, ldots, n-1
Vamos trabalhar com números complexos e explorar propriedades das raízes da unidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação original:
(z - 1)^n = z^n
Isso nos diz que (z - 1) elevado a n é igual a z elevado a n. Dividindo ambos os lados por z^n (assumindo que z neq 0), temos:
(z - 1z)^n = 1
Simplificando a fração dentro do parênteses:
(1 - 1z)^n = 1

Passo 3

A equação (1 - 1z)^n = 1 nos diz que 1 - 1z é uma número complexo que, quando elevado a n, dá 1. Sabemos que os números complexos que satisfazem w^n = 1 são as raízes da unidade. Então, podemos escrever:
1 - 1z = omegak
onde omegak são as raízes da unidade, dadas por:
omegak = e^2kpi in, k = 0, 1, 2, ldots, n-1

Passo 4

Agora, vamos resolver para z:
1 - 1z = omegak Rightarrow 1z = 1 - omegak Rightarrow z = 11 - omegak
Então, as soluções são dadas por:
zk = 11 - omegak, k = 1, 2, ldots, n-1
(Não incluímos k=0 porque isso daria z infinito, o que não é uma solução válida.)

Passo 5

Agora, precisamos expressar omegak em termos de seno e cosseno para simplificar a expressão de zk. Sabemos que:
omegak = e^2kpi in = cos(2kpin) + i sin(2kpin)
Então,
1 - omegak = 1 - cos(2kpin) - i sin(2kpin)

Passo 6

Vamos simplificar 1 - omegak usando identidades trigonométricas. Usando a fórmula para o seno do ângulo reduzido:
1 - cos(theta) = 2 sin^2(theta2) sin(theta) = 2 sin(theta2) cos(theta2)
Aplicando isso com theta = 2kpin:
1 - cos(2kpin) = 2 sin^2(kpin) sin(2kpin) = 2 sin(kpin) cos(kpin)
Então,
1 - omegak = 2 sin^2(kpin) - i cdot 2 sin(kpin) cos(kpin)
= 2 sin(kpin) (sin(kpin) - i cos(kpin))

Passo 7

Agora, voltando à expressão de zk:
zk = 11 - omegak = 12 sin(kpin) (sin(kpin) - i cos(kpin))
Podemos reescrever isso como:
zk = 12 sin(kpin) cdot 1(sin(kpin) - i cos(kpin))

Passo 8

Para simplificar a expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
zk = 12 sin(kpin) cdot sin(kpin) + i cos(kpin)(sin(kpin) - i cos(kpin)) (sin(kpin) + i cos(kpin))
No denominador, usamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2:
= 12 sin(kpin) cdot sin(kpin) + i cos(kpin)sin^2(kpin) + cos^2(kpin)
Como sin^2 theta + cos^2 theta = 1:
zk = 12 sin(kpin) (sin(kpin) + i cos(kpin))

Passo 9

Simplificando mais, dividindo cada termo no numerador por 2 sin(kpin):
zk = sin(kpin)2 sin(kpin) + i cdot cos(kpin)2 sin(kpin)
= 12 + i cdot cos(kpin)2 sin(kpin)
Usando a identidade trigonométrica cot(theta) = cos(theta)sin(theta):
zk = 12 + i cdot cot(kpin)2

Passo 10

Para combinar os termos, podemos escrever:
zk = 12 + i2 cot(kpin) = i2 cot(kpin) + 12
Reescrevendo isso de forma a combinar os termos em uma única expressão complexa:
zk = i2 cot(kpin) + 12 = i2 csc(kpin) (cos(kpin) - i sin(kpin))
Aqui, usamos a identidade cot(theta) = csc(theta) cos(theta).

Resposta

As soluções complexas da equação (z-1)^n - z^n = 0 são dadas por
zk = i2 csc(kpin) (cos(kpin) - i sin(kpin)), k = 1, ldots, n-1

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