a. Prove que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar algumas fórmulas de ângulos duplos da trigonometria. A gente vai trabalhar com as funções cosseno e seno, e vamos precisar lembrar das fórmulas de soma de ângulos e algumas identidades trigonométricas básicas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
. Para isso, vamos usar a fórmula da soma de ângulos para o cosseno:
Aqui, vamos substituir
e
por
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, para chegar em
, vamos usar a identidade pitagórica, que diz que:
Isso significa que podemos expressar como
. Vamos substituir isso na equação que obtivemos:
Então, provamos que:
Passo 4
Agora, queremos provar a outra forma de
, que é . Vamos voltar à nossa expressão original:
Dessa vez, vamos isolar
usando a identidade pitagórica:
Substituindo na equação:
Assim, temos que:
Passo 5
Agora vamos provar a fórmula para o seno de ângulo duplo: . Vamos usar novamente a fórmula da soma de ângulos, mas agora para o seno:
Substituindo
e
por
:
Simplificando:
Resposta
Assim, provamos que: