a. Prove que cos 2 theta=2 cos ^2 theta-1=1-2 sen^2 theta e sen 2 theta=2 sen theta cos theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar algumas fórmulas de ângulos duplos da trigonometria. A gente vai trabalhar com as funções cosseno e seno, e vamos precisar lembrar das fórmulas de soma de ângulos e algumas identidades trigonométricas básicas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos provar que cos 2theta = 2 cos^2 theta - 1. Para isso, vamos usar a fórmula da soma de ângulos para o cosseno:
Aqui, vamos substituir cos(a + b) = cos a cos b - sen a sen b e a por b:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para chegar em 2 cos^2 theta - 1, vamos usar a identidade pitagórica, que diz que:
Isso significa que podemos expressar como cos^2 theta + sen^2 theta = 1 . Vamos substituir isso na equação que obtivemos:
sen^2 theta
Então, provamos que:
1 - cos^2 theta

Passo 4

Agora, queremos provar a outra forma de cos 2theta, que é . Vamos voltar à nossa expressão original:
Dessa vez, vamos isolar 1 - 2 sen^2 theta usando a identidade pitagórica:
Substituindo na equação:
Assim, temos que:

Passo 5

Agora vamos provar a fórmula para o seno de ângulo duplo: . Vamos usar novamente a fórmula da soma de ângulos, mas agora para o seno:
Substituindo sen 2theta = 2 sen theta cos theta e sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b por a:
Simplificando:

Resposta

Assim, provamos que:

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