b) Quantas soluções inteiras não negativas têm a equação x + y + z + w = 23 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quantas soluções inteiras não negativas existem para a equação . Isso faz parte do conteúdo de combinatória, mais especificamente do problema de divisão de objetos indistinguíveis em diferentes categorias. Para resolver, vamos usar o conceito de combinatória com repetição.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que cada variável representa uma “categoria” onde podemos distribuir 23 “objetos” (nesse caso, o número 23). Como estamos procurando soluções inteiras não negativas, cada variável pode ser zero ou um número positivo inteiro.

Passo 3

O método para resolver esse tipo de problema é conhecido como “Princípio das Estrelas e Barras”. A ideia é representar os 23 objetos como estrelas (*) e as separações entre categorias como barras (|).

Passo 4

Para 4 categorias ( ), precisamos de 3 barras para separar as estrelas. Então, no total, teremos 23 estrelas e 3 barras, totalizando 26 símbolos.

Passo 5

Agora, a pergunta se reduz a quantas maneiras podemos organizar esses 26 símbolos, onde a ordem importa, mas as estrelas e as barras são indistinguíveis entre si.

Passo 6

Isso é dado pela combinação de 26 elementos tomados 3 a 3, que é calculada pela fórmula:

Passo 7

Calculando:

Resposta

Existem 2.600 soluções inteiras não negativas para a equação .

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