b) Quantas soluções inteiras não negativas têm a equação
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quantas soluções inteiras não negativas existem para a equação
. Isso faz parte do conteúdo de combinatória, mais especificamente do problema de divisão de objetos indistinguíveis em diferentes categorias. Para resolver, vamos usar o conceito de combinatória com repetição.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que cada variável
representa uma “categoria” onde podemos distribuir 23 “objetos” (nesse caso, o número 23). Como estamos procurando soluções inteiras não negativas, cada variável pode ser zero ou um número positivo inteiro.
Passo 3
O método para resolver esse tipo de problema é conhecido como “Princípio das Estrelas e Barras”. A ideia é representar os 23 objetos como estrelas (*) e as separações entre categorias como barras (|).
Passo 4
Para 4 categorias (
), precisamos de 3 barras para separar as estrelas. Então, no total, teremos 23 estrelas e 3 barras, totalizando 26 símbolos.
Passo 5
Agora, a pergunta se reduz a quantas maneiras podemos organizar esses 26 símbolos, onde a ordem importa, mas as estrelas e as barras são indistinguíveis entre si.
Passo 6
Isso é dado pela combinação de 26 elementos tomados 3 a 3, que é calculada pela fórmula:
Passo 7
Calculando:
Resposta
Existem 2.600 soluções inteiras não negativas para a equação
.