Formule os seguintes problemas em termos de soluções inteiras de equações e distribuição de bolas em caixas:
d) Seleção de 20 refrigerantes de 4 tipos com número par de cada tipo e não mais que oito do mesmo tipo.
d) Seleção de 20 refrigerantes de 4 tipos com número par de cada tipo e não mais que oito do mesmo tipo.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: queremos selecionar 20 refrigerantes de 4 tipos diferentes, onde cada tipo escolhido deve ter um número par de unidades e não pode haver mais de oito unidades de cada tipo.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de soluções inteiras de equações e distribuição de bolas em caixas. Precisamos garantir que cada tipo de refrigerante (caixa) receba um número par de refrigerantes (bolas), respeitando o limite de no máximo oito por tipo.
Passo 2
Vamos definir variáveis para representar o número de refrigerantes de cada tipo:
- Seja
o número de refrigerantes do tipo 1, -
do tipo 2, -
do tipo 3, -
do tipo 4.
Passo 3
A condição de que a soma total seja 20 refrigerantes é representada pela equação:
Passo 4
Como cada
deve ser um número par, podemos escrever
, onde
são inteiros não negativos. Substituindo na equação:
Passo 5
Além disso, como cada
não pode exceder 8, temos que
, o que implica
para cada
.
Passo 6
Portanto, o problema se resume a encontrar soluções inteiras não negativas para a equação:
com a restrição de que cada
.
Resposta
Formulando o problema, queremos encontrar soluções inteiras não negativas para a equação
, onde cada
, representando a seleção de 20 refrigerantes de 4 tipos com número par de cada tipo e no máximo oito de cada tipo.
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