b) Quantos mútiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000 ?
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que pergunta: Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000? Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática básica, especificamente os relacionados a múltiplos e o princípio da inclusão-exclusão. Vamos precisar entender como contar os números que são múltiplos de 9, múltiplos de 15 e também garantir que não contemos os números que são múltiplos de ambos duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar quantos números entre 100 e 1000 são múltiplos de 9. Para isso, identificamos o menor múltiplo de 9 que é maior ou igual a 100 e o maior múltiplo de 9 que é menor ou igual a 1000.
O menor múltiplo de 9 maior ou igual a 100 é
.
O maior múltiplo de 9 menor ou igual a 1000 é
.
Agora, para saber quantos múltiplos existem, usamos a fórmula:
Então, há 100 múltiplos de 9 entre 100 e 1000.
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para os múltiplos de 15. Encontramos o menor múltiplo de 15 que é maior ou igual a 100 e o maior múltiplo de 15 que é menor ou igual a 1000.
O menor múltiplo de 15 maior ou igual a 100 é
.
O maior múltiplo de 15 menor ou igual a 1000 é
.
Usando a mesma fórmula:
Então, há 60 múltiplos de 15 entre 100 e 1000.
Passo 4
Agora, precisamos considerar que alguns números são múltiplos de ambos, 9 e 15. Esses números são múltiplos do mínimo múltiplo comum (MMC) de 9 e 15. O MMC de 9 e 15 é 45.
Vamos encontrar quantos múltiplos de 45 existem entre 100 e 1000.
O menor múltiplo de 45 maior ou igual a 100 é
.
O maior múltiplo de 45 menor ou igual a 1000 é
.
Aplicando a fórmula:
Então, há 20 múltiplos de 45 entre 100 e 1000.
Passo 5
Para encontrar o total de números que são múltiplos de 9 ou 15, usamos o princípio da inclusão-exclusão. Somamos os múltiplos de 9 e os múltiplos de 15 e, em seguida, subtraímos os múltiplos de 45 para não contar duas vezes.
Resposta
Há 140 múltiplos de 9 ou 15 entre 100 e 1000.