Resolva o sistema:
{ (1/4)^x * 4^y = 16, 27^x * (1/9)^(2y) = 9 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve potências. As equações são:
{ (1/4)^x * 4^y = 16, 27^x * (1/9)^(2y) = 9 }
Vamos precisar usar propriedades de potências para simplificar e resolver as incógnitas e .

Passo 2

Vamos começar simplificando a primeira equação:
Sabemos que , então podemos reescrever:
Como as bases são iguais (ambas são 4), podemos somar os expoentes:
A gente sabe que , então:
Como as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais:
çã

Passo 3

Agora, vamos simplificar a segunda equação:
Primeiro, vamos reescrever os números como potências de 3, já que e :
Aplicando a propriedade :
Agora, somando os expoentes porque as bases são iguais:
Igualando os expoentes:
çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da Equação 1, podemos isolar :

Passo 5

Substituímos na Equação 2:
Distribuindo o -4:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :

Passo 7

Com o valor de encontrado, substituímos na expressão de :

Resposta

A solução do sistema é e .

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