Represente geometricamente as superfícies de equações:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa representar geometricamente essa superfície. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadricas como hiperbolóides.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície estamos lidando. A equação geral de uma superfície quadrática é da forma
. No nosso caso, a equação é
, que simplifica para
. Não temos termos cruzados nem termos lineares, o que facilita a identificação.
Passo 3
Observando os coeficientes de
,
e
, vemos que
e
têm sinais positivos e
tem sinal negativo. Isso nos indica que estamos lidando com um hiperbolóide de uma folha. A forma geral de um hiperbolóide de uma folha é
. Comparando com a nossa equação, temos
e
.
Passo 4
Para representar geometricamente, sabemos que um hiperbolóide de uma folha se parece com uma espécie de sela ou um prato inflado que se estende infinitamente nas direções positivas e negativas do eixo
. Ele tem simetria em relação aos eixos
,
e
, e suas seções horizontais (paralelas ao plano
) são círculos com raios que aumentam à medida que
se afasta do zero.
Resposta
A superfície definida pela equação
é um hiperbolóide de uma folha, que se assemelha a uma sela ou um prato inflado, simétrico em torno dos eixos
,
e
, com seções circulares cuja dimensão aumenta conforme se move ao longo do eixo
.
Exercícios relacionados
3 b.)
Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo:
.
Represente geometricamente as superfícies de equações:
;
Calcule: