Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo: sumn=1^infty (3 n)!(2 n)! x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo máximo de convergência da série de potências dada:
sumn=1^infty (3n)!(2n)! x^n
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série de potências da forma sum an x^n, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L cdot |x| < 1, a série converge; se L cdot |x| > 1, a série diverge. O valor de |x| onde L cdot |x| = 1 nos dá o raio de convergência.

Passo 3

Vamos identificar an na nossa série:
an = (3n)!(2n)!
Agora, vamos calcular an+1:
an+1 = (3(n+1))!(2(n+1))! = (3n+3)!(2n+2)!

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, temos:
an+1an = (3n+3)!(2n+2)!(3n)!(2n)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!(2n+2)(2n+1)(2n)! cdot (2n)!(3n)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(2n+2)(2n+1)

Passo 5

Simplificando a expressão:
an+1an = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(2n+2)(2n+1) = 27n^3 + cdots4n^2 + cdots
Para grandes valores de n, os termos de maior grau dominam, então podemos aproximar:
an+1an approx 27n^34n^2 = 274n

Passo 6

Aplicando o limite no Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty 274n = infty
Isso significa que, para a série convergir, precisamos que L cdot |x| < 1. Como L tende ao infinito, a única solução possível é x=0.

Resposta

O intervalo máximo de convergência da série é apenas x = 0. Ou seja, a série converge somente quando x = 0.

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